超越数とは何か？自然対数の底eや円周率πが超越数である証明を解説！【超越数一覧もあり】

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は数学Ⅲで初めて登場する「自然対数の底 $e$ 」をもっと深く掘り下げて、

「超越数」

とはいったい何か、また $e$ や円周率 $π$ が超越数である証明を、なるべくかみ砕いて解説していきます！
(ですので、証明は厳密にではなく概要を説明いたします。あらかじめご了承ください。)

ネイピア数(自然対数の底)について知りたい！！という方は以下の記事を参考にしてください。↓↓↓

関連記事
ネイピア数eとは？なぜ定義があの形？自然対数の微分公式や極限を取る意味についてわかりやすく解説！

また、この記事では、「円積問題」という古代ギリシャの時代から存在する面白い問題や、超越数一覧も簡単ですが載せてあります！

ぜひ楽しんでいってくださいませ！♪

超越数って？

まず初めに、「代数的数」と「超越数」の定義をする必要があります。

…これだけではピンと来ませんね…

式で書くとややこしくなってしまうので、簡単に具体例を通しながら見ていきましょう。

例1.$2x-3=0$を解け。

ものすごく簡単ですが、一応解いてみると、

となり、解は「$\frac{3}{2}$」となりましたね。

よって、$\frac{3}{2}$という数は代数方程式の解になったので、代数的数です！

こんな感じで、有理数$\frac{q}{p}(p,qは互いに素な整数)$というのは、

$$px-q=0$$

の解になるので、有理数はすべて代数的数です。

では有理数しか代数的数がないのかというと、そんなことはありません。

次の例に移りましょう。

例2.$x^2+3x+1=0$を解け。

この2次方程式は因数分解できないので、解の公式を使って解くと、

$$x^2+3x+1=0⇔x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$$

となるので、この代数方程式を解くことで得られた$\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$は代数的数です。

「√(ルート)」にも「2乗根」だったり「3乗根」だったりいろいろありますが、そういう単純なものすべてが代数的数です。

では、今は実数の範囲で考えていましたが、これを複素数に拡張してみたらどうなるか見ていきましょう。

例3.$x^2+1=0$を解け。

この方程式は、実数の範囲では解けませんよね。

ですが、こういう方程式もどうせなら解きたいですよね。

そこで、「$i^2=-1$なる虚数単位$i$」というものを、数学Ⅱで定義しましたね。

つまり、この方程式を解くと、

と、虚数単位$i$を用いて解を表すことができました。

よって、この虚数単位$i$も代数的数です。

こうしてみていくと、こんな予想が生まれると思います。

でも実は、この予想は正しいように見えて…

ことがすでに分かっているんですね！

ま、ここら辺の話は、「有理数と無理数どっちが多いの？→無理数の方が圧倒的に多い！」といった、有理数と無理数の濃度っていうがっつり大学数学を含んでくるので、「へーそうなんだ～」ぐらいの気持ちで聞いていただければと思います。
(この事実も一部分にすぎません。本当はもっともっと複雑です。)

それでは、次の章から、具体的に超越数だとわかっているものを見ていきましょう。

超越数の一覧

代表例をバーッと挙げてみましょう。

• 自然対数の底$e$(通称ネイピア数)
• 円周率π
• $2^\sqrt{2}$(無理数乗という数も定義されています。こいつのおかげで超越数が多いのでは…？)
• $e^π$

こんなものでしょうか。

まず、一つ目の「ネイピア数$e$」ですが、これが超越数であることを証明するのが、一番最初の肝です！

ただ、この証明がいろんな研究者によって簡略化されてきたとはいえ、それでもなお複雑な計算を要します。

なので、ここではどんなふうに考えるのか、その超大まかな概略だけ解説して、他の超越数も見ていきたいと思います。

※証明の参考文献はこちら

$e$が超越数である証明手順1【積分の定義】

まず初めに、こんな積分を定義します。

$$I(t)=\int_{0}^{1}te^{t-tx}f(tx)dx$$

…はい、もうこれだけで(僕を含め)多くの人の眉にしわが寄ったかと思います。

ですので、本当に概略だけ！

この定義した積分ですが、部分積分を行うことでまあまあ簡単な式になります。

その簡単な式を用いて、次のステップに移りましょう。

$e$が超越数である証明手順2【矛盾を導く】

さて、証明方法の華、「背理法」君の登場です。

⇒参考.「背理法とは？ルート2が無理数である証明問題などの具体例をわかりやすく解説！【排中律】」

代数的数の証明は、満たすものが一つでもあればいいので具体的に考えれば簡単ですが、
超越数の場合は、満たすものが全くないことを示さなければならないので、感覚的にも大変そうですよね。

こういうときの鉄則は、やはり「代数的数であると仮定し、矛盾するから超越数である」という流れでしょう。

ですので、まずネイピア数$e$が代数的数であると仮定します。

すると、$$a_0+a_1e+a_2e^2+…+a_ne^n=0$$

といった代数方程式が一つ作れるはずです。

ここで、$$f(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p…(x-n)^p$$

$$J=a_0I(0)+a_1I(1)+…+a_nI(n)$$

と定義します。

あとは、ある性質を用いて矛盾を示す。

という流れになるので、最後のステップに移りましょう。

$e$が超越数である証明手順3【階乗＞指数関数】

ここがポイントです！
これはぜひ高校生のうちに理解しておきたいですね！

つまり、この命題が言わんとしているのは、

「nが十分大きくなっちゃったら、指数関数より階乗の方が強いよ」

ということです。

ここは高校数学の範囲なので、軽く証明したいと思います。

【証明】
$m=3$として話を進めよう。
十分大きな$n$に対して、

ここで、$$\lim_{n\to\infty}(\frac{3}{4})^{n-3}=0$$

したがって、はさみうちの原理より、命題は証明された。
(証明終了)

この命題を用いることで、証明の手順2で$f(x)$を定義しましたが、その際に出てきた$p$を十分に大きくとってあげることで、うまく矛盾が導ける！

そういった流れになっております。
(ここでは、これで証明ができたとします。超越数は本当に奥深くて、「超越数論」なる分野まで存在するぐらいなので、興味を持った方はそちらの道に進むのもありかもしれませんね。)

円周率$π$や$e^π$が超越数である証明

さて、ネイピア数$e$以外にも、円周率$π$や$e^π$が超越数であることがわかってきます。

その際必要になってくる定理があるので、2つご紹介します。

定理1(リンデマンの定理)
0でない代数的数$α$に対して、$e^α$は超越数である。
※Wikipediaより引用

定理2(ゲルフォント=シュナイダーの定理)
$α$を0,1以外の代数的数、$β$を有理数ではない代数的数としたとき、
$α^β$は超越数である。
※Wikipediaより引用

この2つの定理を用いることで証明ができるので、やってみます。

【円周率$π$が超越数である証明】
円周率$π$が代数的数であると仮定する。

すると、$iπ$も代数的数であるから、定理1より$e^{iπ}$は超越数である。

しかし、オイラーの公式より、$$e^{iπ}=-1$$

であるから、これは$-1$が代数的数であることに矛盾。

したがって、円周率$π$は超越数である。

(証明終了)

【$e^π$が超越数である証明】
オイラーの公式を用いると、次のように変形できる。

$$e^π=(e^{iπ})^{-i}=(cosπ+isinπ)^{-i}=(-1)^{-i}$$

定理2より、$(-1)^{-i}$は超越数である。

したがって、$e^π$は超越数である。

(証明終了)

ここで頻繁に登場してきた「オイラーの公式」ですが、数学Ⅲの「複素数平面」という分野で出てくる非常に重要な公式ですので、必ず押さえておきましょう。

ちなみに、$e^π$のことを「ゲルフォントの定数」と呼ぶこともあります。

ここまでくると完全に雑学ですね。

超越数の研究でわかったこと【円積問題】

超越数の研究で分かったことの代表例として必ず挙がってくるのが、この

「円積問題」

ではないでしょうか。

図を用いて説明します。↓↓↓

ようするに、

という、古代ギリシャから考えられてきた問題です。

この問題は長らく人々を悩ませてきたのですが、19世紀末ごろに「$π$が超越数である」ことが示されたことにより、この問題に結論が出ました。

【解答】
正方形の一辺の長さを$x$とすると、面積が$π$と等しくなることから、

$$x^2=π$$

よって、

$$x=\sqrt{π}$$

であることがわかる。

ここで、$π$が超越数であることから、$\sqrt{π}$も超越数である。

よって、解が$\sqrt{π}$となるような代数方程式は作れないため、

この作図は不可能である。

(終了)

ようするに

この作図は不可能である！

という結論が導けたわけです。
(「$\sqrt{π}$の値が求められない」という意味ではないので注意！)

超越数に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

不思議な数「超越数」について、知見は広がったでしょうか。

実は、「$π^e$や$e+π$が超越数であるかどうか」はまだわかっていません！
紹介した例と似たような数なのに、こっちは証明が難しいんですね…

そのほかにも、まだまだ未解決なものがたくさんあります！

ですので、ぜひ興味を持った方はチャレンジしてみるのもいいかと思います。
(ただし、チャレンジした結果証明ができなくても、当サイトは一切の責任を負いませんので、ご了承ください。)

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！