超越数とは?簡単に解説【ネイピア数e・円周率πの証明あり】

こんにちは、ウチダショウマです。

突然ですが、皆さんは「超越数(ちょうえつすう)」という数をご存知でしょうか?

代数的数(だいすうてきすう)と対になっている言葉で、以下のように定義されます。

代数的数 … 整数係数の方程式の解となり得る数
超越数  … 整数係数の方程式の解となり得ない数

数学太郎

ちょっと難しいから、わかりやすくかみ砕いて教えてほしいです。

ということで本記事では、「超越数とは何か」やネイピア数 $e$ などが超越数であることの証明、また代表的な研究である「円積問題」について

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員→塾の教室長として活躍
  • 現在プロの数学家庭教師

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

超越数とは?【まずは一覧から】

まずは、先程の定義の意味を、簡単な具体例を通して理解していきましょう。

例題1.次の方程式をそれぞれ解きなさい。
(1) $2x-3=0$
(2) $x^2+3x+1=0$
(3) $x^2+1=0$

これらの方程式は、すべて整数係数の方程式です。

よって、これらの解は”代数的数”となりますから、まずはどういうものが代数的数になるかをチェックしましょう。

これらの方程式を解いてみた結果、

  • (1)より、有理数はすべて代数的数。
  • (2)より、$n$ 乗根(たとえば√など)もすべて代数的数。
  • (3)より、$2i$、$3i$ などの虚数もすべて代数的数。

以上の事実がイメージできると思います。

ではここからが本題。

「超越数って本当にあるの?」と思っている方向けに、いきなりですが一覧をお見せしたいと思います。

超越数の一覧をどうぞ!【実は代数的数よりも圧倒的に数が多い】

$π$$e$$π+e^π$
$πe^π$$2^{\sqrt{2}}$$i^i$
$\displaystyle \sum_{k=0}^∞ \frac{1}{2^{2^k}+1}$$e+3$…etc!!

ということで、円周率 $π$ やネイピア数 $e$ が絡むと、“結構な確率”で超越数になります。

数学花子

「結構な確率」ってどういうことですか?

ウチダ

実は「まだ超越数だとわかっていない数」というのが山のようにあるのです…!たとえば $e+π$ や $eπ$ などが挙げられます。$πe^π$ は証明されているのに、不思議ですよね汗。

ではいよいよ、ネイピア数 $e$ が超越数であることの証明を、わかりやすく解説していきます。

※証明の参考文献はこちら

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ネイピア数eが超越数であることの証明3STEP

STEP1:積分を定義しよう

まず初めに、こんな積分を定義します。

$$I(t)=\int_{0}^{1}te^{t-tx}f(tx)dx$$

数学太郎

…ん?この積分はどっから出てきたの?

ウチダ

最終的に矛盾を示すために用いる積分なので、この時点ではあまり意味はありませんね。汗

この定義した積分ですが、部分積分を行うことでまあまあ簡単な式になります。

その簡単な式を用いて、次のステップに移りましょう。

STEP2:背理法を用いて矛盾を示す

代数的数の証明は、「満たす整数係数の方程式が $1$ つでもあればOK」ですが、超越数は「満たすものが $1$ つもない」ことを示さなければいけません。

こういう証明は大変なので、証明方法の王道である”背理法”を用いることとします。

よって、まずネイピア数 $e$ が代数的数であると仮定します。

すると、$$a_0+a_1e+a_2e^2+…+a_ne^n=0$$

といった代数方程式が一つ作れるはずです( $a_i$ はすべて整数)

ここで、$$f(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p…(x-n)^p$$

$$J=a_0I(0)+a_1I(1)+…+a_nI(n)$$

と、新たな関数と定数を定義します。

あとは、ある性質を用いて矛盾を示す。

という流れになるので、最後のステップに移りましょう。

STEP3:階乗の方が指数関数より速く大きくなることを使う

十分大きな自然数 $n$ に対して、
$$\lim_{n\to\infty}\frac{m^n}{n!}=0$$
が成り立つ。

ここは高校数学の範囲なので、シンプルに証明したいと思います。

よって、STEP2で定義した$f(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p…(x-n)^p$ の $p$ を十分大きく取ってあげると、上手く矛盾が導けます。

したがって、$e$ は超越数であることが示せるんですね。

ウチダ

本記事では流れのみ押さえました。ただ理論的には高校数学の範囲で証明が可能だということですね。

より詳細な証明はこちらからどうぞ

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円周率πやe^πが超越数である証明

さて、ネイピア数 $e$ 以外にも、円周率 $π$ や $e^π$ が超越数であることがわかってきます。

その際必要になってくる定理があるので、まずはそれらから紹介します。

定理1(リンデマンの定理)
$0$ でない代数的数 $α$ に対して、$e^α$は超越数である。

定理2(ゲルフォント=シュナイダーの定理)
$α$ を $0$、$1$ 以外の代数的数、$β$ を有理数ではない代数的数としたとき、
$α^β$ は超越数である。

本記事では、これら $2$ つの定理を認めて、円周率 $π$ や $e^π$ が超越数であることを示してみます。

超越数の研究の代表例【円積問題】

さて、最後に円積問題(えんせきもんだい)について解説します。。

ようするに、

円と面積が等しくなる正方形を作図できるか?

という問題です。

この問題は、古代ギリシャの時代から長年人々を悩ませてきました。

しかし、$19$ 世紀末頃に「 $π$ が超越数である」ことが示されたことにより、この問題に結論が出たのです!

まとめ:超越数は最先端の研究!数学の奥深さを知ろう

最後に、本記事のポイントをまとめます。

  1. ネイピア数e」や「円周率π」は超越数の代表例
  2. 「部分積分」や「背理法」、また「階乗と指数関数の関係」を用いることで、ネイピア数eが超越数であることは示せる。
  3. 実はまだ超越数だとわかっていない数はたくさんあり、最先端の研究である。

超越数という神秘な数に触れて、数学の奥深さを実感しましょう!

おわりです。

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コメント

コメント一覧 (5件)

  • 4冊の絵本から自然数の創生過程を発掘調査する。
    「こんとん」夢枕獏文 松本大洋絵
    「みどりのトカゲとあかいながしかく」スティーブ・アントニー作・絵 吉上恭太訳 「ゆうかんな3びきとこわいこわいかいぶつ」スティーブ・アントニー作・絵 野口絵美訳
    [もろはのつるぎ](有田川町ウエブライブラリー)

  • 「四則演算」をふくめ、『HHNI眺望』で観る自然数は、自然数のシェーマ(符号)として『自然比矩形』の[刀形]のヒゲ付きで表記したい。

    「論理哲学論考」ウィトゲンシュタイン著の
    ≪ 四・〇四一一 数学的多様性 ≫を[内在]するモノとして導入できないだろうか・・・

    これは、離散と連続の双対性の
    『離散的有理数の組み合わせによる多変数創発関数 命題Ⅱ』の帰結による、次元間の位相(アスペクト)をも包括した[眺望]となっているようだ・・・

    『HHNI眺望』で観る自然数の絵本
    有田川町電子書籍 「もろはのつるぎ」

    御講評をお願い致します。

    時間軸の数直線は、『幻のマスキングテープ』に生る。
    「かおすのくにのかたなかーど」から
    令和2年5月23日~6月7日 の間だけ
    射水市大島絵本館で

  • ≪…[カオス表示]の[因数積]を[内在](帯同)させる⦅自然数⦆を[群]…≫は、『創発釣り鐘体』・『尖塔コニーデ体』で[自然数のエンテレケイア]と。

    数直線のイメージは、『自然比矩形』の模様の組み合わせパターンの繰り返しのようだ。
    この幻のマスキングテープが手に入らないかなぁ~  

    『創発釣り鐘体』・『尖塔コニーデ体』((eー2)π 2.25・・・ ) を
    『自然数の日』にしよう・・・  

  • ≪…『自然比矩形』…≫は、[絵本]「もろはのつるぎ」で・・・

  •  ≪…超越数…整数係数の方程式の解となり得ない数…≫を、
    [認知科学]的に『身体がする数学』として,[図形]と[十進法の基での桁表示]について観て観る。

     『自然比矩形』と[円]と≪…数字…≫との繋がりを[数学思考]すると、静的には[点・線・面]が[渾然一体]な[入れ子構造]になり、動的には[点・線・面]が[渾然一体]な[入れ子構造]と看做すことが出来よう。 
      これは、ライプニッツの理性に基づく自然と恩寵の原理の⦅モナド⦆に[同定]できよう[モノ]と観る。
     
     なぜなら、[点・線・面]で獲得する[数学概念]は、[如何なる大きさの思考平面]においても[普遍]であるからだ。

    [点・線・面]で獲得する[数学概念]は、西洋数学の成果の6つのシェーマ(符号)において『自然比矩形』では[1 0 e i ∞]を生み、[円]では[1 0 π i ∞] を生み出していると観る。

     ≪…超越数…≫(e π)は、十進法の基での桁表示で発見(発明)し・された言葉(数)で⦅位相化⦆(アスペクト)された[モノ]と観え、[コスモス表示]の⦅自然数⦆を授け[カオス表示]の[因数積]を[内在](帯同)させる⦅自然数⦆を[群]へと導いていると観る。 

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