平方完成のやり方・公式とは？【練習問題４選でわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダです。

数学Ⅰ「二次関数」を学ぶ上で、必ず押さえておかなければいけない計算技術。

その一つとして「平方完成（へいほうかんせい）」があります。

さて、皆さんはマスターできましたでしょうか？

こういった悩みを抱えている方は少なくないと思います。

平方完成は、「いかに正確かスピーディにできるか」が肝ですので、ここでしっかりマスターしておかないと、後々苦労します。

よって本記事では、平方完成のやり方（公式）から平方完成を行う意味まで、練習問題４問を通して

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

平方完成のやり方（公式）とは？【目指す形を覚えよう】

平方完成のたった一つの最大のポイント。

それは以下の通りです。

$y=a(x-p)^2+q$ の形（別名「標準形（ひょうじゅんけい）」とも言う）を目指す！！

二次式をこの形に変形することを「平方完成」といい、この先あらゆる場面で重宝します。

さて、平方完成をする意味や使う場面については後述するとして、まずは練習してみましょう。

例題．二次式 $x^2+8x$ を平方完成しなさい。

$x^2$ の係数が $1$ の場合は一番簡単です。

解答をご覧ください。

この解答でのポイントは、「一次の項 $8x$ の係数 $8$ に注目し、半分の数 $4$ を使う」ということです。

これは平方完成をマスターする上で必ず押さえておきたいことですね。

展開の公式の一つとして、$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ というものがあります。

これを利用して、$2ax$ → $(x+a)^2$ となっているから、一次の項の係数を半分にするという発想につながるのです。

≫参考記事：展開の公式とは～（準備中）

【コラム】平方完成を図形の面積で考えるとこうなります

「数式だけだとなかなか公式を理解しづらい…」という方は、図形の面積で考えるといいでしょう。

赤斜線の部分の面積は等しいので、

$$x^2+8x=(x+4)^2-4^2$$

が成り立つ、という考え方です。

詳しくは以下の記事で解説してますので、よろしければあわせてご覧ください。

平方完成の練習問題４選

それでは早速ですが、練習問題を何問か解いてみましょう。

いきなり応用問題もありますが、先ほどの例題を参考にすれば解けるはずなので、ぜひ頑張ってみてください。

練習１．次の二次式を平方完成しなさい。
(1)　$x^2-5x-1$
(2)　$2x^2+8x+3$
(3)　$-x^2+2x+2$
(4)　$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+x+1$

(1)以外は $a≠1$ なので少し工夫が必要です。

少し考えてみてから解答をご覧ください。

(2)以降は、解答がすべて $4$ 行ですね！

なので、この $4$ 行の操作を、言葉でそれぞれまとめておきます。

1. $x$ が含まれている項を、$x^2$ の係数 $a$ でくくる。
2. 一次の項の係数の半分を利用して、$(x-p)^2$ を作る。
   1. このとき、中括弧 { } を忘れずに！！
3. $a$ を分配して、$a(x-p)^2$ を作る。
4. 残った部分（ $+q$ の部分）を計算して、$a(x-p)^2+q$ の完成！★

たしかに平方完成は、正確性だけでなくスピードも重要です。

しかし、スピードを求めて正確性を欠いては本末転倒なので、「必ず $4$ 行の式変形をするんだ」というスタンスの方が良いと思いますよ。

※ただし、$a=1$ の場合のみ①と③の操作が必要ないため、$2$ 行の式変形となります。

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平方完成をする意味って？いつ使うの？

それでは平方完成の練習が終わりましたので、いよいよ「平方完成の意味」について考えていきます。

平方完成を行う意味は、ズバリこれです。

二次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフの頂点の座標は $( \ p \ , \ q \ )$ で求まる！

つまり、平方完成を行うことによって頂点の座標がいとも簡単にわかってしまう、ということです。

ということで、「なぜ平方完成をすると頂点の座標がわかるのか」について、もう少し詳しく見ていきましょう。

なぜ平方完成をすると頂点の座標がわかるのか

実数の大きな特徴として、「 $2$ 乗した数は必ず $0$ 以上の数になる」という性質がありますね。

そして、平方完成された形には、$(x-p)^2$ にしか $x$ がありません。

つまり、$(x-p)^2=0$ となる $x$ が頂点になる、ということになります。

$(x-p)^2=0$ を解くと、$x-p=0$ つまり $x=p$ となるので、そのときの $y$ は $q$ となることから、頂点の座標は $( \ p \ , \ q \ )$ と求めることができますね。

ここまでセットで理解しておけば、大体OKです。

今回あわせて学習した「二次関数のグラフ」や、もう一つの代表的な応用例「式と証明」についての詳しい解説は、以下の記事をご覧ください。

式と証明とは～（準備中）

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平方完成は正確性とスピードが命だ！

それではここで、少し精神論的なお話をしたいと思います。

平方完成は…

• 野球部で言う「キャッチボール」であり、
• サッカー部で言う「リフティング」であり、
• バスケ部で言う「ドリブル」である。

つまり、平方完成は“できて当たり前”のレベルじゃないと、二次関数の問題に太刀打ちできない、ということです。

テストはこちらのリンクから
※全20問、制限時間は10分（1問あたり30秒）
答えはこちらのリンクから

20点…合格！
19点～18点…数学得意だね！
17点～16点…少しもったいないね。
15点～11点…あともうひと踏ん張り！
10点以下…頑張りましょう。

ちなみに、僕のタイムは「4分45秒18」でした。

問題も僕が作ってますし、正確な数字ではないでしょうけど、$7$ 分くらいで解けるようになれば計算力に自信を持っていいと思います。

まとめ：平方完成の公式ややり方をマスターして計算力を上げよう

それでは最後に、本記事のポイントをまとめます。

1. 平方完成のやり方は、以下の $4$ つの手順に従うだけでOK!!
   1. $x$ が含まれている項を、$x^2$ の係数 $a$ でくくる。
   2. 一次の項の係数の半分を利用して、$(x-p)^2$ を作る。
      ※このとき、中括弧 { } を忘れずに！！
   3. $a$ を分配して、$a(x-p)^2$ を作る。
   4. 残った部分（ $+q$ の部分）を計算して、$a(x-p)^2+q$ の完成！★
2. 平方完成ができれば、「二次関数のグラフ」を書いたり、「式と証明」で利用したりできます。
3. 「平方完成を図形の面積で考えてみた」解説記事も用意しました。ぜひあわせてチェックしておこう👍

平方完成マスターになってくると、平方完成するのが楽しくなってきます。

ぜひこの機会に、一生使える高い計算力をマスターしておきましょう！

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。