二項定理の公式を超わかりやすく証明！係数を求める問題に挑戦だ！【応用問題も解説】

2019年4月20日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

今日は、数学Ⅱで最も有用な定理の一つである

「二項定理」

について、公式を圧倒的にわかりやすく証明して、応用問題(特に係数を求める問題)を解説していきます！

二項定理とは？

まずは定理の紹介です。

(二項定理)$n$は自然数とする。このとき、

\begin{align}(a+b)^n={}_n{C}_{0}a^n+{}_n{C}_{1}a^{n-1}b+{}_n{C}_{2}a^{n-2}b^2+…+{}_n{C}_{r}a^{n-r}b^r+…+{}_n{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{C}_{n}b^n\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。

これをパッと見たとき、「長くて覚えづらい！」と感じると思います。

ですが、これを「覚える」必要は全くありません！！

ウチダ

どういうことなのか、成り立ちを詳しく見ていきます。

二項定理の証明

先ほどの式では、 $n$ という文字を使って一般化していました。

いきなり一般化の式を扱うとややこしいので、例題を通して見ていきましょう。

例題. $(a+b)^5$ を展開せよ。

$3$ 乗までの展開公式は皆さん覚えましたかね。

しかし、$5$ 乗となると、覚えている人は少ないんじゃないでしょうか。

この問題に、以下のように「組み合わせ」の考え方を用いてみましょう。

分配法則で掛け算をしていくとき、①～⑤の中から $a$ か $b$ かどちらか選んでかけていく、という操作を繰り返します。

なので、$$(aの指数)+(bの指数)=5$$が常に成り立っていますね。

ここで、上から順に、まず $a^5$ について見てみると、「 $b$ を一個も選んでいない」と考えられるので、「 ${}_5{C}_{0}$ 通り」となるわけです。

他の項についても同様に考えることができるので、組み合わせの総数 $C$ を用いて書き表すことができる！

このような仕組みになってます。

そして、組み合わせの総数 $C$ で二項定理が表されることから、

組み合わせの総数 $C$ …二項係数

と呼んだりすることがあるので、覚えておきましょう。

ウチダ

ちなみに、今「 $b$ を何個選んでいるか」に着目しましたが、「 $a$ を何個選んでいるか」でも全く同じ結果が得られます。

この証明で、

なんで「順列」ではなく「組み合わせ」なの？

と疑問に思った方は、ぜひ以下の記事を参考にしてください。

あわせて読みたい

順列と組合せの違いとその公式とは【応用問題５選もあわせて解説】「順列と組合せの違い」について知りたいですか？本記事では、順列と組合せのたった一つの違いから、それぞれの公式・応用問題まで解説します。「順列と組合せの違いがよくわかっていない…」という方は必見です。

以上のように、一つ一つの項ごとに対して考えていけば、二項定理が導き出せるので、わざわざすべてを覚えている必要はない、ということになりますね！

ですので、式の形を覚えようとするのではなく、「組み合わせの考え方を利用すれば展開できる」ことを押さえておいてくださいね。

係数を求める練習問題

前の章で二項定理の成り立ちと考え方について解説しました。

では本当に身についた技術になっているのか、以下の練習問題をやってみましょう！

(練習問題)
(1) $(x+3)^4$ の $x^3$ の項の係数を求めよ。
(2) $(x-2)^6$ を展開せよ。
(3) $(x^2+x)^7$ の $x^{11}$ の係数を求めよ。

解答の前にヒントを出しますので、$5$ 分ぐらいやってみてわからないときはぜひ活用してください＾＾

ヒント

それでは解答の方に移ります。

【解答】

(1)　4個から3個「 $x$ 」を選ぶ(つまり1個「 $3$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_4{C}_{3}×3={}_4{C}_{1}×3=4×3=12$$
※3をかけ忘れないように注意！

(2)　二項定理を用いて、

\begin{align}(x-2)^6&={}_6{C}_{0}x^6+{}_6{C}_{1}x^5(-2)+{}_6{C}_{2}x^4(-2)^2+{}_6{C}_{3}x^3(-2)^3+{}_6{C}_{4}x^2(-2)^4+{}_6{C}_{5}x(-2)^5+{}_6{C}_{6}(-2)^6\\&=x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。

(3)　7個から4個「 $x^2$ 」を選ぶ(つまり3個「 $x$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$

(3の別解)

\begin{align}(x^2+x)^7&=\{x(x+1)\}^7\\&=x^7(x+1)^7\end{align}

なので、 $(x+1)^7$ の $x^4$ の項の係数を求めることに等しい。(ここがポイント！)

よって、7個から4個「 $x$ 」を選ぶ(つまり3個「 $1$ 」を選ぶ)組み合わせの総数に等しいので、$${}_7{C}_{4}={}_7{C}_{3}=35$$

(終了)

いかがでしょう。

全問正解できたでしょうか！

ポイントは、

(1)…$3$をかけ忘れない！
(2)…$(x-2)=\{x+(-2)\}$ なので、符号に注意！
(3)…それぞれ何個かければ $11$ 乗になるか見極める！

ですかね。

(3)の補足

(3)では、 $r$ 番目の項として、

\begin{align}{}_7{C}_{r}(x^2)^{7-r}x^r&={}_7{C}_{r}x^{14-2r}x^r\\&={}_7{C}_{r}x^{14-2r+r}\\&={}_7{C}_{r}x^{14-r}\end{align}

と指数法則を用いてもOKです。

ここで、$$14-r=11$$を解くことで、$$r=3$$が導けるので、答えは ${}_7{C}_{3}$ となります。

ウチダ

今回は取り上げませんでしたが、たとえば「 $\displaystyle (x^2+\frac{1}{x})^6$ の定数項を求めよ」など、どう選べばいいかわかりづらい問題で、この考え方は活躍します。

それでは他の応用問題を見ていきましょう。

二項定理の応用

二項定理を応用することで、さまざまな応用問題が解けるようになります。

特によく問われるのが、

二項係数の関係式
余りを求める問題

この2つなので、順に解説していきます。

二項係数の関係式

問題. $n$ は自然数とする。次の等式を証明せよ。
(1)　 $${}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}+…+{}_n{C}_{n}=2^n$$
(2)　

\begin{align}{}_n{C}_{0}-{}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}-…+(-1)^n{}_n{C}_{n}=0\end{align}

※(2)は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

こんな複雑な式でも、二項定理を用いればあっという間に証明できます。

ではやっていきましょう。

↓↓↓

【証明】
まず、二項定理より、

\begin{align}(1+x)^n={}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_{2}x^2+…+{}_n{C}_{n}x^n　……①\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(1)

①の式に $x=1$ を代入すると、$$2^n={}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}+…+{}_n{C}_{n}$$

(2)

①の式に $x=-1$ を代入すると、$$0={}_n{C}_{0}-{}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}-…+(-1)^n{}_n{C}_{n}$$

(終了)

このように、二項定理 $(a+b)^n$ の $a$ と $b$ にいろいろな数字を代入するだけで、関係式がいくつも作れます。

また、今証明した(1)と(2)の式を用いることで、

\begin{align}{}_n{C}_0+{}_n{C}_2+…+{}_n{C}_{n-1}={}_n{C}_1+{}_n{C}_3+…+{}_n{C}_n=2^{n-1}　(nが奇数の時)\end{align}

\begin{align}{}_n{C}_0+{}_n{C}_2+…+{}_n{C}_n={}_n{C}_1+{}_n{C}_3+…+{}_n{C}_{n-1}=2^{n-1}　(nが偶数の時)\end{align}

※この2つの数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

が簡単に示せますので、やってみてください＾＾

ウチダ

$n$ の偶奇で場合分けをして、(1)-(2)と(1)+(2)をするだけです。

余りを求める問題

問題. $21^{21}$ を$400$で割った余りを求めよ。

一見何にも関係なさそうな余りを求める問題ですが、なんと二項定理を用いることで簡単に解くことができます！

↓↓↓

【解答】
$21=20+1,400=20^2$であることを利用する。(ここがポイント！)

よって、二項定理より、

\begin{align}21^{21}&=(1+20)^{21}\\&=1+{}_{21}{C}_{1}20+{}_{21}{C}_{2}20^2+…+{}_{21}{C}_{21}20^{21}\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

ここで、 $20^2=400$ が含まれている項は400で割り切れるので、前半の $2$ 項のみに着目すると、

\begin{align}1+{}_{21}{C}_{1}20&=1+21×20\\&=421\\&=400+21\end{align}

よって、余りは $21$。

(終了)

この問題は合同式で解くのが一般的なのですが、そのときに用いる公式は二項定理で証明します。

合同式に関する記事を載せておきますので、ぜひご参考ください。

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多項定理

最後に、二項ではなく多項(3以上の項)になったらどうなるか、見ていきましょう。

例題. $(x+y+z)^6$ を展開したとき、 $x^2y^3z$ の項の係数を求めよ。

考え方は二項定理の時と全く同じですが、一つ増えたので計算量がちょっぴり多くなります。

↓↓↓

【解答】

ⅰ)　6個から2個「 $x$ 」を選ぶ組み合わせの総数は、 ${}_6{C}_{2}$ 通り

ⅱ)　のこり4個から1個「 $z$ 」を選ぶ組み合わせの総数は、 ${}_4{C}_{1}$ 通り

積の法則より、$${}_6{C}_{2}×{}_4{C}_{1}=60$$

(終了)

数が増えても、「組み合わせの総数と等しくなる」という考え方は変わりません！

※ただし、たとえば「 $x$ 」を選んだとき、のこりの選ぶ候補の個数が「 $x$ 」分少なくなるので、そこだけ注意してください！

では、こんな練習問題を解いてみましょう。

問題. $(x^2-3x+1)^{10}$ を展開したとき、 $x^5$ の係数を求めよ。

この問題はどこがむずかしくなっているでしょうか…

少し考えてみて下さい＾＾

では解答に移ります。

【解答】

$p+q+r=10$である $0$ 以上の整数を用いて、$$(x^2)^p(-3x)^q×1^r$$と表したとき、 $x^5$ が現れるのは、$$\left\{\begin{array}{l}p=0,q=5,r=5\\p=1,q=3,r=6\\p=2,q=1,r=7\end{array}\right.$$である。

よって、求める $x^5$ の係数は、

\begin{align}{}_{10}{C}_{5}×(-3)^5+{}_{10}{C}_{1}×{}_9{C}_{3}×(-3)^3+{}_{10}{C}_{2}×{}_8{C}_{1}×(-3)=-84996\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(終了)

少し難しかったですが、ポイントは、「 $x^5$ の項が現れる組み合わせが複数あるので分けて考える」というところですね！