偏差とは？【意味や求め方・和が必ず０であることをわかりやすく解説】

こんにちは、ウチダです。

「偏差（へんさ）」とは、データの個々の数値から平均値を引いた値であり、よく耳にする

• 標準偏差
• 偏差値

とは全くの別物です。

数学太郎

「偏差」という言葉がややこしいよね。

数学花子

偏差そのものは、どういう意味を持っているのかしら？

よって本記事では、偏差の求め方から偏差の意味、また偏差に成り立つ性質まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

偏差の求め方【平均値との差を考えよう】

偏差とは、個々のデータに対して与えられるものであり、「データ $-$ 平均値」で定義されるものです。

少し練習してみましょう。

偏差を求めるには、まず平均値を求める必要があります。

定義に従い求めると…

$$\frac{3+5+1+9+7+2+8}{7}=\frac{35}{7}=5$$

となります。

≫参考記事：平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける？【３つの代表値を詳しく解説】

平均値さえわかれば、あとは単に差を求めるだけです。

ウチダ

表からわかる通り、偏差の和は必ず $0$ になります。これはあとで証明します。

このように、偏差の和は必ず $0$ になるので、このままだとあまり使う意味がありません。

よって、平均値からの距離を表すことができる「偏差の $2$ 乗」を上手く使っていきましょう。

偏差だけでは意味がない？【偏差の２乗や偏差の積がポイント】

偏差を使って定義される代表的なものはこちら

• 偏差の $2$ 乗の平均値　→　分散
• 分散の正の平方根　→　標準偏差
• 平均値 $50$，標準偏差 $10$ となるように調整されたデータ　→　偏差値

$2$ つのデータの比較のときは、$2$ 乗の代わりに「積」を使います。

• 偏差の積の平均値　→　共分散
• 共分散を正規化したもの　→　相関係数

ウチダ

偏差の $2$ 乗であればすべて正の値になるため、和は $0$ になるとは限りませんね。

偏差そのものにあまり意味はないですが、「偏差の $2$ 乗」および「 $2$ つの偏差の積」には意味があります。

それぞれの詳細は、上記のリンクから解説記事をご覧ください。

偏差の和が必ず０になることの証明

それでは最後に、偏差の和が必ず $0$ であることを証明したいと思います。

まず、変量 $x$ が $x_1$，$x_2$，…，$x_n$ の $n$ 個のデータで作られているとします。

このとき、平均値 $\overline{x}$ は

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$$

です。

ここで、偏差の和を考えると…

と、確かに $0$ になることが示せました。

※この数式は横にスクロールできます。

かなり丁寧に式変形を行いました。

自分の手で証明することは理解の促進につながりますので、ぜひ一度は示しておきましょう。

偏差に関する記事はこちらから

本記事のポイントをまとめます。

1. 偏差は「個々のデータと平均値との差」である。
2. 偏差の和は必ず $0$ になるから、それだけではあまり意味がない。
3. 偏差の $2$ 乗の平均値が「分散」、偏差の積の平均値が「共分散」である。

もう一度関連記事のリンクをまとめておきますので、興味のある方はぜひあわせてご覧ください。

• 分散の求め方とは？【標準偏差との違いもわかりやすく解説します】
• 標準偏差の求め方と意味とは？【分散との違いもわかりやすく解説します】
• 偏差値とは？【偏差値60はどのくらいスゴイのか、求め方まで解説します】
• 共分散とは【共分散公式を含む求め方２通り・相関係数との違い】
• 相関係数とは？【強弱の目安・公式を含む求め方２通り・性質２選の証明】

おわりです。