偏差とは?【意味や求め方・和が必ず0であることをわかりやすく解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

偏差(へんさ)」とは、データの個々の数値から平均値を引いた値であり、よく耳にする

とは全くの別物です。

【偏差とは】
データ $x_1$,$x_2$,…,$x_n$ の平均値を $\overline{x}$ とする。
このとき、$x_i$ の偏差を $x_i-\overline{x}$ と定義する。
数学太郎のアイコン画像数学太郎
「偏差」という言葉がややこしいよね。
数学花子のアイコン画像数学花子
偏差そのものは、どういう意味を持っているのかしら?

よって本記事では、偏差の求め方から偏差の意味、また偏差に成り立つ性質まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

偏差の求め方【平均値との差を考えよう】

偏差とは、個々のデータに対して与えられるものであり、「データ $-$ 平均値」で定義されるものです。

少し練習してみましょう。

練習問題. $7$ 個のデータからなる変量 $x$ がある。
$$3 \ , \ 5 \ , \ 1 \ , \ 9 \ , \ 7 \ , \ 2 \ , \ 8$$このとき、それぞれの偏差を求めなさい。

偏差を求めるには、まず平均値を求める必要があります。

定義に従い求めると…

$$\frac{3+5+1+9+7+2+8}{7}=\frac{35}{7}=5$$

となります。

≫参考記事:平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける?【3つの代表値を詳しく解説】

平均値さえわかれば、あとは単に差を求めるだけです。

データ $x_i$$3$$5$$1$$9$$7$$2$$8$計 $35$
偏差 $x_i-\overline{x}$$-2$$0$$-4$$4$$2$$-3$$3$計 $0$
ウチダのアイコン画像ウチダ
表からわかる通り、偏差の和は必ず $0$ になります。これはあとで証明します。

このように、偏差の和は必ず $0$ になるので、このままだとあまり使う意味がありません。

よって、平均値からの距離を表すことができる「偏差の $2$ 乗」を上手く使っていきましょう。

偏差だけでは意味がない?【偏差の2乗や偏差の積がポイント】

偏差を使って定義される代表的なものはこちら

  • 偏差の $2$ 乗の平均値 → 分散
  • 分散の正の平方根 → 標準偏差
  • 平均値 $50$,標準偏差 $10$ となるように調整されたデータ → 偏差値

$2$ つのデータの比較のときは、$2$ 乗の代わりに「積」を使います。

ウチダのアイコン画像ウチダ
偏差の $2$ 乗であればすべて正の値になるため、和は $0$ になるとは限りませんね。

偏差そのものにあまり意味はないですが、「偏差の $2$ 乗」および「 $2$ つの偏差の積」には意味があります。

それぞれの詳細は、上記のリンクから解説記事をご覧ください。

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偏差の和が必ず0になることの証明

それでは最後に、偏差の和が必ず $0$ であることを証明したいと思います。

まず、変量 $x$ が $x_1$,$x_2$,…,$x_n$ の $n$ 個のデータで作られているとします。

このとき、平均値 $\overline{x}$ は

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$$

です。

ここで、偏差の和を考えると…

\begin{align}(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+…+(x_n-\overline{x})&=(x_1+x_2+…+x_n)-n×\overline{x}\\&=(x_1+x_2+…+x_n)-n×\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}\\&=(x_1+x_2+…+x_n)-(x_1+x_2+…+x_n)\\&=0\end{align}

と、確かに $0$ になることが示せました。

※この数式は横にスクロールできます。

かなり丁寧に式変形を行いました。

自分の手で証明することは理解の促進につながりますので、ぜひ一度は示しておきましょう。

偏差に関する記事はこちらから

本記事のポイントをまとめます。

  1. 偏差は「個々のデータと平均値との差」である。
  2. 偏差の和は必ず $0$ になるから、それだけではあまり意味がない。
  3. 偏差の $2$ 乗の平均値が「分散」、偏差の積の平均値が「共分散」である。

もう一度関連記事のリンクをまとめておきますので、興味のある方はぜひあわせてご覧ください。

おわりです。

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