【4次関数】平方完成を4次式に応用するには?公式からコツまでわかりやすく解説します

こんにちは、ウチダショウマです。
今日は

「平方完成」

を4次式に応用させて、なんと4次関数の最大最小を求める問題を数学Ⅰの知識のみで解いてみましょう。

平方完成の公式や基本的なコツ、やり方を詳しく知りたい方は、以下の記事も参考にしてください。

↓↓↓

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目次

まずは基本の平方完成から

さて、最初に押さえておきたいのはやはり基本。
皆さんは一瞬で平方完成ができるようになりましたか?
ということで、公式を確認しておきましょう。

$$ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

平方完成を行うことで、2次方程式の解の公式も導けましたね。(今は中学校3年生で習います。)

さて、ここで本記事の目標ですが

これを3次式4次式応用できたりしないの?

ということで、次から詳しく見ていきましょう!

3次式には応用できない理由

これは厳密にいえば応用できないわけではないのですが、
平方完成を行う意味を考えれば応用したところで得られるものはほとんどないことがわかると思います。

平方完成を行う意味…$(実数)^2$を作ることで、$(実数)^2≧0$となるため、下に凸な関数の最小(上に凸な関数の最大)を求めることができる!

つまり「2乗」を作りたい→「平方完成」なわけですね!
ですので、もし仮に3乗の式をうまく作れたとして、そこまで有用性はないわけです。
(マイナスを3乗してもマイナスですから、距離を表すことも難しそうですね。)

ですが、4次式であれば話は違います。

例えば、$$2^4=4^2=16$$

ですし、$$3^4=9^2=81$$

ですよね!

ここで、途中で「2乗を作り出せている」ことに注目してください。

4乗する=2乗したものを2乗する

このような関係式が成り立ってますよね。(これは指数法則の一部です。)

4次式は平方完成できそう!
そう感じていただけたでしょうか?

では、次から実際に問題を解いてみましょう。

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4次式の平方完成その1【複2次式】

問題1.$x^4+2x^2+2$を平方完成せよ。

このような、奇数次(1次と3次)の項がない4次式のことを、「複2次式」と呼びます。

さて、この複2次式についてはとっても簡単。

$$x^2=t$$とおく。

すると、$$x^4+2x^2+2=t^2+2t+2$$

となり、「$t$についての2次式」に変えることができましたね!

この式を普通に$t$について平方完成しましょう。

$$t^2+2t+2=(t+1)^2+1$$

ここで、$t$は自分で勝手に置いた文字なので、$x$に直す必要があります。
(ここは意外と忘れがちなので注意です。)

$$(t+1)^2+1=(x^2+1)^2+1$$

以上より、4次式でも問題なく「$( )^2$」の形を作る(つまり平方完成する)ことができました!

次はもう少し難しい例を見てみましょう。

4次式の平方完成その2【因数分解表示されたパターン】

問題2.$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$を平方完成せよ。

この形、見たことはありませんか?

そう、この形もなんと「4次式」の代表例です。

実際に頭の中で展開してみますと、$x^4$の項が出てきそうですよね!
$x^4$の項が存在すれば、それは立派な4次式です。

さて、この問題不親切かというと、実はそんなことはありません。
むしろ、めっちゃ親切に因数分解表示してくれています。

どういうことなのか…

もし、この式が因数分解表示されてなかった場合、問題文はこうなります。

問題2′.$x^4+10x^3+35x^2+50x+24$を平方完成せよ。

別にできなくはないです。(因数分解表示でできるのであれば、ただ展開した式もできるはずですよね。)

しかし、これを平方完成するには、数学Ⅱで習う「恒等式」の考え方が必要になってきます。
「恒等式の係数比較」ってやつです。
(興味がある方はやってみましょう。)

今回は数学Ⅰの知識のみで解きたいので、どうやら展開するのは得策ではなさそうです。

ではどうするか…
先ほどの「複2次式」の場合を考えて、それを応用してみましょう。

さっきは$$x^2=t$$という形で置くことで、すべてをうまく$t$で表すことができたから平方完成ができたんですよね。

ですので、今回も方針は同じです。

「$〇〇=t$と置くことで式を$t$のみで表せるような$t$を頑張って見つけましょう」

そういうことになります。

これは少しテクニックが必要です。
今からやってみます。

\begin{align}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)&=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)\\&=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

まず、掛け算する順番を変えます

このように計算する順序を変えることで、$$x^2+5x=t$$

とおくと、

\begin{align}(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=(t+4)(t+6)\end{align}

※この数式は横にちょっとだけスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

こうなりますね!
ここまで来たら、あとは先ほどの複2次式の例とほぼ同じです!

\begin{align}(t+4)(t+6)&=t^2+10t+24\\&=(t+5)^2-1\\&=(x^2+5x+5)^2-1\end{align}

いかがだったでしょうか!

しっかり$( )^2$を作る(平方完成する)ことができましたね!

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4次式の平方完成を応用して4次関数の最大最小を求めてみよう!

さっきの問題は「4次式」でしたが、「4次関数」にしてみるとどうなるでしょうか。

例えばこんな問題があります。

例題1.$y=x^4+2x^2+2$の最小値を求めよ。

さあ、最小値(最大値)と言えば「平方完成」の登場です!

先ほど平方完成は行ったので、その結果を利用します。
すると…

$$y=(t+1)^2+1$$

となりますね!

よって、最小値は1。

果たしてこれでいいでしょうか…?
ここが4次関数の最大最小を平方完成で解くときの要注意ポイントです。

自分で置いた文字(今回の場合「$t$」)に何か条件がつかないか確認する!

自分で何かを設定したときは、それに条件がついていないか、絶対に確認してください!

今回の場合は、$t=x^2$なので、$t≧0$ですよね!!
($x^2$は常に0以上ですからね!)

すると、$y=(t+1)^2+1$の$(t+1)$が$0$になることはあり得ないです。
一番小さくできて、$t=0$のときに、$t+1=1$ですね。

よって、$t=0,つまりx=0$のとき、最小値は$1+1=2$
これが答えとなります。

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もう一つの例も見てみましょうか。

例題2.$y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$の最小値を求めよ。

今回も先ほど平方完成は行ったので、そこまでスキップします。

\begin{align}y&=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\&=(t+5)^2-1\end{align}

さあ、今回も同じです。
果たして、$t+5=0$となることはあり得るのでしょうか…
$t$につく条件を調べてみます。

今回、$t=x^2+5x$でした。
これを「$t$の関数」とみることで、まだ「$x$について平方完成」ができますね。

実際に行うと、$$t=x^2+5x=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$$ となりますね。

ですから、$$x=-\frac{5}{2}のとき、最小値t=-\frac{25}{4}$$
となります。(下に凸な関数になるわけです。)

すると、今回は$t=-5$があり得ることがわかりますね!
($-5=-\frac{20}{4}>-\frac{25}{4}$ですから、$t$の定義域に入ってます。)

よって、$t=-5$つまり$x^2+5x=-5$のとき、最小値-1をとる。

$x$の値まで出す必要があるときは、

$$x^2+5x=-5$$

を解いてあげて、

$$x=\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$$

したがって、$x=\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$のとき、最小値-1とる。

これが答えになります。

ちなみに、例題1と例題2の4次関数は、グラフにするとこんな形です。

↓↓↓

  

例題1(複2次式)だとほぼ2次関数の形ですが、例題2だとアルファベットの「W」みたいな形をしていますね!

※複2次式と呼ばれる理由は、実はこの「グラフの形が2次関数と似ている」というところからきています。

4次式の平方完成に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、2次式の平方完成を利用して、4次式を平方完成し、4次関数の最大最小を求めてみました。
(最大については扱いませんでしたが、それは2次関数のときと同じで、上に凸な関数だったり、定義域が制限されれば最大値が現れます。)

そして、今日の一番のポイントは、

文字で置き換えた(置換した)ときは、その文字に条件がつくかどうか調べる!

文字で置き換えることを「置換」と言いますが、これは数学Ⅱでも数学Ⅲでもたびたび出てきます!
(数学Ⅱでは「三角方程式」、数学Ⅲでは「置換積分」で出てきます。高校3年生の方は聞きなれすぎて耳が痛いですよね(笑)。)

ぜひ、数学Ⅰのうちから、

  • 「置換の仕方」
  • 「置換したとき条件がつかないか調べるクセ」

を身に付けておくと、後々楽かなと思います。

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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