定義域・値域・変域の違いとは？【求め方もわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダです。

関数の分野において、よく「定義域（ていぎいき）・値域（ちいき）・変域（へんいき）」という用語 $3$ つが登場します。

数学太郎

定義域・値域・変域ってよく聞くけど、違いがイマイチわからないです…。

数学花子

定義域・値域を求める問題の解き方が知りたいです。

よって本記事では、定義域・値域・変域の意味の違いから、それぞれを求める問題の解き方まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

定義域・値域・変域の違いとは？【すごく単純です】

それぞれの言葉の定義は、以下の通りです。

• 定義域　…　$x$（入力）の取り得る範囲
• 値域　　…　$y$（出力）の取り得る範囲

また、定義域・値域の $2$ つを合わせて「変域」と言います。

つまり、$x$ の変域が定義域であり、$y$ の変域が値域である、というわけです。

数学太郎

定義域とか値域とかって、名前が難しそうだから面食らってたよ～。

ウチダ

そうだね。ちなみに言葉として、定義 $↔$ 入力、値 $↔$ 出力、が対応しているから、関数についても理解しておいた方が良いよ。

入力？出力？と感じた方は、こちらの記事をご覧ください。

関数を学ぶ上で、これらの言葉の意味を理解することは非常に重要です。

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定義域・値域（・変域）の求め方

さて、では次に定義域から値域を求める問題や、その逆の問題などを解いていきましょう。

定義域から値域を求める問題

問題１．一次関数 $y=2x+1（-1≦x≦1）$ の値域を求めなさい。

まずは一次関数において、定義域が与えられた場合の値域の求め方です。

が、これは単純に $x=-1$ と $x=1$ を代入し、$y$ の値を求めればOKです。

数学花子

すいません、解答中に出てきた「単調増加」って何ですか？

ウチダ

あ、これは「単調増加（たんちょうぞうか）」と言って、この関数は $x$ が増えれば $y$ も増え続ける、という意味だよ。中学や高校では「右肩上がり」なんて表現することもあるね。

逆に右肩下がりのグラフであれば、以下のような問題・解答になります。

問題２．一次関数 $y=-2x+3（0≦x≦2）$ の値域を求めなさい。

なぜ単調増加や単調減少であることを気にしなければいけないか。

それは、関数は必ずしも単調な変化ばかりではないからです。

問題３．二次関数 $y=x^2+1（-1≦x≦2）$ の定義域を求めなさい。

二次関数のグラフは、放物線の形ですので、単調な変化ではなく上がり下がりがあります。

この問題３で、前と同じように解いてしまうと、

$$2≦y≦5$$

となってしまいますが、これは間違いです。

どういうことかは、以下の解答をご覧ください。

問題３の解答

二次関数 $y=x^2+1$ のグラフを書くと以下のようになる。

グラフを見ると、$x=0$ の点で最小値，$x=2$ の点で最大値を取るので、それぞれ代入すると、

ⅰ）$x=0$ のとき、$y=0^2+1=1$

ⅱ）$x=2$ のとき、$y=2^2+1=5$

より、値域（つまり $y$ の変域）は

$$1≦y≦5$$

である。

(解答終了)

ウチダ

これが問題１や問題２において、単調増加（減少）と解答に記述した理由です。高校以降の数学では複雑な関数をどんどん扱っていくので、変化が単調でない場合は必ずグラフを書くようにしましょう。

値域から定義域を求める問題

あとは同じ要領で解ける問題ですので、軽く見ていきます。

問題４．二次関数 $y=-2(x-1)^2+3（-5≦y≦3）$ の定義域を求めなさい。

数学太郎

この問題も、グラフを書けば解けますか？

ウチダ

グラフを書けば、どんな問題でも間違いなく解けます。ただし、$y=-5$ となる $x$ を求めるには、結局二次方程式を解かなければいけません。

値域が与えられた場合は、二次関数であれば二次方程式，三次関数であれば三次方程式…と、～次方程式を解かなくてはならないため、ちょっとめんどくさい問題が多いです。

定義域・値域から関数を決定する問題

問題５．一次関数 $y=ax+b（a<0）$ の定義域が $-3≦x≦2$ であり、値域が $-5≦y≦10$ である。このとき、$a$，$b$ を求めなさい。

それでは最後に、一次関数ならではの特徴を活かした、応用問題にチャレンジしてみましょう。

数学花子

定義域・値域がわかっていれば、関数を決めることもできるんですね！

ウチダ

そうです…が、これは一次関数だからできたことです。単調に変化しない関数（たとえば二次関数）だと、$x$ と $y$ の対応関係がわからないため、求めることができません。注意しましょう。

定義域・値域・変域に関するまとめ

本記事のポイントをまとめます。

1. $x$ の変域が「定義域」、$y$ の変域が「値域」
2. グラフを書けば、定義域から値域を求めたり、値域から定義域を求めることができる。
3. 二次関数は一次関数と違って、単調に変化しないため、注意が必要。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。