二次関数の決定とは？【問題の解き方３パターンをわかりやすく解説します】

こんにちは、ウチダです。

さて、二次関数に限らず、与えられた条件から一つの関数を求めるスキルは重要です。

ただ、「二次関数の決定」では、注意すべき点がいくつかあります。

たとえば…

• 一般形
• 標準形
• 分解形

の $3$ つの形があり、問題によって使い分ける、といった感じにです。

よって本記事では、二次関数の決定における解き方３パターンを

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

二次関数の決定で重要なポイント【解き方３パターンを覚えよう】

二次関数の決定において、問題の解き方は $3$ パターンに決まっています。

最初にまとめをしておきましょう。

1. 一般形 $y=ax^2+bx+c$ … 通る $3$ 点が与えられた場合に使う
2. 標準形 $y=a(x-p)^2+q$ … 「軸の方程式」または「頂点の座標」が与えられた場合に使う
3. 分解形 $y=a(x-α)(x-β)$ … $x$ 軸との共有点が $2$ つ与えられた場合に使う

これら３パターンの共通点は以下の $2$ つです。

①　$a$ によって二次関数のグラフの形が決まること。
②　どの形も、未知数がちょうど $3$ 個であること。

二次関数の決定において重要なのが、「問題パターンを覚えること」「関数が決定する仕組みを理解すること」の２つなので、順に解説していきますね。

一般形・標準形・分解形を使いこなそう

まずは問題を解いて、それぞれの形をどう使うのか見ていきます。

問１．次の条件を満たす放物線をグラフとする二次関数を求めなさい。
(1)　$3$ 点 $( \ 2 \ , \ -2 \ )$，$( \ 3 \ , \ 5 \ )$，$( \ -1 \ , \ 1 \ )$ を通る
(2)　頂点が $( \ 1 \ , \ -3 \ )$ で、点 $( \ -1 \ , \ 5 \ )$ を通る
(3)　$2$ 点 $( \ 1 \ , \ 0 \ )$，$( \ 3 \ , \ 0 \ )$ を通り、$y$ 切片が $-3$

(1)から順に、「一般形」「標準形」「分解形」と使えばラクに解けます。

どういうことかは、解答をご覧ください。

以上のように、与えられた条件に対して使う形を柔軟に変えることで、二次関数の決定は圧倒的にラクに解けます。

（もちろん、(1)で標準形 $y=a(x-p)^2+q$ を使っても解けます。しかし、計算がとても面倒です。）

正直、二次関数の決定で押さえておくべき内容は以上となります。

ただ、仕組みを理解しているのとしていないのでは、この先大きな差が生まれてしまいますので、ここからは

二次関数を一つに決めている背景事実は、一体何なのか

について、考えていきましょう。

スポンサーリンク

二次関数の決定の仕組みとは？

二次関数に限らず、$n$ 次関数に対して通る点が $n+1$ 個与えられれば、関数は一つに決まる。（例外はアリ）

「 $n$ 次関数の決定」は基本的に、この仕組みの下に成り立っています。

ここで、先ほどスルーした連立方程式を解いておきましょう。

【連立三元一次方程式の解き方】
$$\left\{\begin{array}{ll}-2=4a+2b+c \ &…①\\5=9a+3b+c \ &…②\\1=a-b+c \ &…③\end{array}\right.$$ $①-③$ を計算すると、$3a+3b=-3$
両辺を $3$ で割って、$a+b=-1　…④$
$②-③$ を計算すると、$8a+4b=4$
両辺を $4$ で割って、$2a+b=1　…⑤$
となり、未知数 $c$ が消える。

次に、$⑤-④$ を計算すると、$a=2$
これを④または⑤の式に代入すれば、$b=-3$ が求まり、これらを①～③のいずれかに代入すれば、$c=-4$ も求まる。
(解答終了)

中学校までで習う連立方程式は「連立二元一次方程式」と呼ばれ、$2$ つの方程式から解を求めていました。

ここで解いた連立方程式も、仕組みは同じです。

連立方程式に関する詳しい解説は、以下の記事をご参考ください。

連立方程式とは～（準備中）

しかし、例外もあります。

つまり、「 $3$ つの方程式があるにも関わらず未知数 $a$，$b$，$c$ が一つに定まらない」という場合です。

ここら辺の話を詳しく学習するのは、大学数学「線形代数」の単元になりますので、これ以上は省略します。

「軸の方程式」と「頂点の座標」の違い

さて、二次関数の決定における重要事項を、もう一つ解説します。

それは、「軸の方程式と頂点の座標の情報量の違い」です。

軸の方程式で与えられる情報は $1$ つ（ $x$ 座標のみ）であるのに対し、頂点の座標で与えられる情報は $2$ つ（ $x$ 座標，$y$ 座標）です。

つまり、「頂点の座標が与えられた場合、通る点がもう一つわかれば、二次関数は決定する」ということになります。

二次関数の決定に関するまとめ

それでは最後に、本記事のポイントをまとめます。

1. 二次関数には「一般形」「標準形」「分解形」という $3$ つの形があり、パターンに応じて使い分けると計算がラク！
2. 一般的に、$n$ 次関数に対して通る点が $n+1$ 個与えられれば、関数は一つに決まる（ただし例外アリ）。
3. 頂点の座標は情報量が $2$ あるので、特に重要な点である。

二次関数の決定で学んだことは、三次関数・四次関数にも応用できる考え方です。

「与えられた条件から関数を一つに決定する」スキルは重要ですので、ぜひこの機会に仕組みを理解しておきましょう。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。