分配法則のやり方とは?小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説!【分数や割り算も考察】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、小学4年生(中学1年生でも高校1年生でも改めて習います。)で初めて習う

「分配法則」

について、小学生に教えるように、わかりやすい説明(教え方)や証明について考えていきましょう!(ただ、文字は用いますので、そこは具体的な数字に置き換えるなどして、柔軟に対応をお願いします。)

また、割り算の分配法則についても分数を用いて考察し、理解を深めていきましょう。

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目次

分配法則とは

まずは公式の紹介です。

(分配法則)
$$a×(b+c)=a×b+a×c$$$$(a+b)×c=a×c+b×c$$

この二つを合わせて「分配法則」と呼びます。

絵で表すとこんな感じですね。

↓↓↓

これだけではわかりづらいと思いますので、例を見ていきましょう。

例1. $3×(10+2)$ を計算しなさい。

このような式の場合、四則演算のルールにもとづいて計算すれば、$$3×(10+2)=3×12=36$$と、まず ( ) の中を計算してから掛け算を行いますね。

これでももちろん正解です!!

ですが、この計算に分配法則を用いるとどうなるでしょう。

↓↓↓

【分配法則を用いた解答】

\begin{align}3×(10+2)&=3×10+3×2\\&=30+6\\&=36\end{align}

(終了)

さっきよりちょっと長くなってしまいましたが、これでも正しい答えを出せましたね!

では、次の例に移りましょう。

例2. $(7+9)×13$ を計算しなさい。

まずはいつもどおりに計算してみます。

すると、$$(7+9)×13=16×13=208$$

ですね!

ではこの式に分配法則を用いるとどうなるでしょうか。

↓↓↓

【分配法則を用いた解答】

\begin{align}(7+9)×13&=7×13+9×13\\&=91+117\\&=208\end{align}

(終了)

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今度はどうでしょう。

$16×13$ を筆算などで計算するよりも少しラクに答えが出せませんでしたか?

そう、実はこの分配法則…

計算をラクに行うのにめちゃくちゃ使える!!

数が大きくなればなるほど、分配法則を使った方が良い場面というのがたくさん出てきますので、これだけは社会人になっても押さえておきたい知識でございます♪

「分配法則などを用いたインド式計算法を知りたい」という方は、こちらの記事をご覧ください!

↓↓↓

関連記事
インド式計算11選まとめてみた【かけ算わり算や19×19までの九九や足し算など】

それでは、ここからは

  • なぜ分配法則は成り立つのか
  • 引き算や割り算についてはどうなのか

について、詳しく見ていきましょう。

分配法則のいろいろな証明

まずは、足し算と掛け算の性質について、おさらいしておきます。

たとえばですが、$$5+3=3+5$$だったり、$$5×3=3×5$$といったふうに、足し算と掛け算は順番を入れ替えても答えは同じになります。

(この性質のことを交換法則と呼びます。)

よって、今回示すのは、$$a×(b+c)=a×b+a×c$$のみとします。(これが成り立てば、もう一つの方が成り立つのは明らかですからね。)

また、分配法則のいろいろな”証明”という見出しをつけましたが、証明というよりかは、どちらかというと”説明”の方が意味合い的に近いかと思われます。

僕が大好きなWikipediaさんをのせておきますね^^

証明:ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。
Wikipediaより引用
説明:事柄の内容や意味を、よく分かるように解き明かすこと。
Wikipediaより引用

証明っていうと、結構かっちりしなきゃいけないんですよ。

世の中の普遍的な真理である「公理」をもとに、さまざまな「定義」をし、公理や定義から明らかにしていくことを「証明する」というので、こういう単純なものこそ難しかったりします。

他の例を挙げるとすれば、$$1+(-1)=0$$を証明するのって、結構しんどいんですよ(^_^;)

まあ、そういうのがやりたい人は大学に行って数学を学べばいいと思うし、かなり理論的な話になってくるので、実用的かと言われると何とも言えない部分があります。

なので、ここでは、わかりやすい説明に重点を置いて、いろいろ紹介していきます。

「これがいい!」と思ったものだけで十分ですので、ぜひ手持ちの武器の一つに加えてみて下さい♪

足し算と掛け算の意味から説明

まずは基本的な説明からまいりましょう♪

↓↓↓

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いかがでしょうか!

たとえば、 $15×3$ というのは、「15を3つ足す」と教わりましたよね。

そこで、これも一例ですが、$$15=10+5$$なので、「10を3つと5を3つを合わせる」と同じになるよーということです。

これはお買い物のときなどに無意識に行っている行為ですよね!

15円というのは、10円玉1枚と5円玉1枚ですから、10円玉3枚と5円玉3枚支払えば45円になりますね。

これが一番有名かつ基本だと思います。

では次は、こんなふうに考えてみましょう♪

図形を用いた説明

よく物事を説明するときに、絵とか図とかを使った方がわかりやすい、と耳にしたことがありますよね!

算数(数学)も同じで、目で見てイメージしやすいとそれだけ頭に残りやすいです!

なので、図形を用いて説明してみましょう^^

↓↓↓

たとえば、こんな長方形があったとします。

ここで、$$11=4+7$$ですから、赤の面積・青の面積というふうに、図形を二つに分けてみることにします。

すると、$$赤の面積=8×4=32$$$$青の面積=8×7=56$$です。

また、図形の面積というのは、分け方によって変わるものではないので、$$8×11=8×4+8×7$$が成り立ちますね^^

このように考えると、別に3つに分けても4つに分けてもいいことがわかるので、たとえば$$8×11=8×3+8×6+8×2$$なんかも成り立つことがわかります!

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わかりづらいものこそ「図形の面積」で考えるクセをつけておくと、一気にイメージしやすくなりますよ♪

中高生で「平方完成がよくわからない…」と苦しんでいる方は、平方完成を図形で解説している記事がありますので、こちらをぜひ参考にしてください。

↓↓↓

平方完成のやり方って?なぜ公式にマイナスが出てくるのか?「図形の面積」を用いてわかりやすく解説!

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分配法則の割り算バージョンとは?

では最後に、今は足し算掛け算を用いた分配法則でしたが、引き算割り算ならどうなるのか、順に見ていきましょう。

まずは引き算の分配法則です。

(分配法則2)
$$a×(b-c)=a×b-a×c$$$$(a-b)×c=a×c-b×c$$

引き算というのは、足し算の逆の操作のことで、$$a-b=a+(-b)$$になります。

中学1年生で「正負の数」を学習してからの方が理解がスムーズですので、よろしければこちらの記事もぜひご覧ください♪ 

↓↓↓

関連記事
負の数の引き算(減法)と掛け算(乗法)の解き方や符号の変化を解説!【中一数学練習問題】

ただ、ここで注意したいことがあります。

引き算と割り算については、交換法則が成り立ちません。

たとえば、 $5-3=2$ ですが $3-5=-2$ ですし、$2÷4=\frac{1}{2}$ ですが $4÷2=2$ ですもんね。。

今引き算については、( ) の中だったので、( )の中の順番さえ注意すればよかったですが、割り算だと話は変わってきます。

いったいどういうことでしょうか。

分配法則(割り算バージョン)

掛け算の部分を割り算に変えてみると、以下のようになります。

  • $a÷(b+c)=a÷b+a÷c ……①$
  • $(a+b)÷c=a÷c+b÷c ……②$

これは、割り算の順番を入れ替えてますね。

そう、先ほどから注意しているように、割り算は割られる数と割る数を入れ替えるだけで答えが変わってしまうということは、順番に気をつけなければならない計算方法なのです。

そして、この2つの式のどちらかは正しくてどちらかは間違っています。

皆さん、ぜひ①、②どちらが正しいか考えてみて下さい。

ここでは3通りの方法で解説していきます。

分数を用いた証明

割り算は分数として表すことができましたね。

ですので、①と②の式を分数で表記してみます。

すると、

$$①…\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$$

$$②…\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$$

さて、ここまでくるとどちらが正しいか分かるのではないでしょうか。

正解は、です!

なぜなら、②の右辺は分母がそろっているからです。

それに比べて、①の右辺は、分母がそろっていません。

分母がそろっていないときは、通分をするしかありませんね。

じっさいに通分をしてみると、$$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{a×c+a×b}{b×c}$$となるので、これが左辺と同じであるとは考えられないですね。

「分数がよくわからない…」という方は、こちらの記事が非常に参考になるかと思います♪

↓↓↓

分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

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割り算の意味から考える

分数を用いることで、間違っているのは①だということがわかったので、ここからは①がどうして間違っているのか、もう少し詳しく見ていきます。

①の左辺は、$\frac{a}{b+c}$ でしたね。

ここで、文字だと分かりづらいので、ためしに$$a=30,b=3,c=5$$を代入してみます。

すると、意味合い的には、「りんご30個を、3+5=8人で分けたときの1人分」ということになりますね。

割り切れないから、「3個あまり6」になってしまいます。

では次、右辺について見てみましょうか。

①の右辺は、$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$ だったので、意味合い的には、「りんご30個を3人で分けて、バナナ30本を5人で分けたときの1人分のりんごとバナナの総数」ということになりませんか?

実際に計算すると、「16個(りんご10個+バナナ6本)」になりますね。

以上のように、割り算の意味について考えてみると、左辺と右辺は全く別のことを言っていることがわかります。

ちなみに、割り算の意味で考えても、②は左辺と右辺で同じことを言っています。

ここはぜひ自分で考えてみて下さい^^

反例を考える

これは「間違っている証明」のときに、よく使えるテクニックなのですが、間違っている例(つまり反例)を1つでも挙げればよい、という論理です。

※正しいことを証明するのには全く役に立ちません。

ですが、先程の章でやってしまいましたね。

ためしに、$$a=30,b=3,c=5$$を代入してみた時に、$$①の左辺=3あまり6$$$$①の右辺=16$$と全く違う値になったので、よってこれが反例となり、この式が正しくないことがわかりました。

この論法は、高校以降でよ~く出てきます。高校生の方はぜひ押さえておいてください。

割り算の分配法則についてまとめます!

(分配法則3)
$$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$$のみ成り立つ。

分配法則に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

分配法則は非常に大切で、上手く使えばとても役に立つ公式ですので、ぜひ押さえておきましょう♪

「分配法則を用いた問題をたくさん解いてみたい」という方は、次はこちらの記事をご覧ください^^

↓↓↓

分配法則を中学受験の問題で使いこなそう!【小学生がつまずきやすい逆や分数】

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以上、ウチダショウマでした。
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