絶対値とは?絶対値の計算問題・意味や性質・分数の絶対値の外し方について解説!【ルート】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中学1年生で習う

「絶対値」

の意味や性質を理解した上で、分数の絶対値の外し方について考察し、絶対値の計算問題を何問か解いていきたいと思います。

また、記事の最後では、中学3年生で習う「平方根(ルート)」について少し触れています。

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目次

絶対値とは

「絶対値」という言葉が、なんとなく難しそうに見えますよね。

しかし、実はめちゃくちゃ簡単なやつなんです!

↓↓↓

問題. 次の絶対値を求めよ。
(1) $6$   (2) $-3$

たとえばこんな問題が出てきたら、こう解答してあげてください。

↓↓↓

【解答】

(1) $6$

(2) $3$

つまり、絶対値とは符号をプラスにした数のこと、ただそれだけなのです。

(1)はもともとプラスなのでそのまま。(2)はマイナスがついているので、それをプラスに変えてあげればOKです。

いかがでしょう。

こうして見ると、簡単すぎて今度は逆に「何のために勉強するの…?」と不安になってくるでしょう。

その気持ちがとても大切です。

今、ものすごく簡単に絶対値を説明しました。

しかし、これでは絶対値の真の意味を理解しているとは言えません。

ではその真の意味とは何なのか。次の章で明らかにしていきます。

絶対値の意味や性質

絶対値の定義(真の意味)は、「原点 O からの距離(きょり)」です。

これをぜひ理解していただきたいのです。

どういうことか。図を通して解説します。

↓↓↓

よく先生から「数直線を書けよ~」と言われると思います。

数直線は、数と図形が結びつく一番わかりやすい例なので、とても大切です。

しっかり理解していきましょう。

まず、正負の数に関する記事で、「負の数(マイナス)は“逆”で覚えよう!」と解説しました。

「正負の数」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒負の数の引き算(減法)と掛け算(乗法)の解き方や符号の変化を解説!【中一数学練習問題】

数直線では、0 を基準に( 0 を原点として)考えます。

そこで、距離というものを考えたとき、右方向(プラス)だろうが左方向(マイナス)だろうが関係ないですよね!

したがって、符号を無視したものが絶対値となるのです。

また、この定義から、以下の性質が導けます。

↓↓↓

【絶対値の性質】
$a$ を実数とする。
このとき、$$|a|=|-a|$$が成り立つ。

絶対値は、記号「 | 」を用いて表します。

つまり、$|a|$ は「 $a$ の絶対値」を意味します。

この性質が成り立つか、$a$ にいろいろな数字を代入して、確認してみましょう。

たとえば、$a=6$ とすると…$$|6|=|-6|=6$$

ですね^^

他にも、$a=-3$ とすると…$$|-3|=|3|=3$$

これは、$|-a|=|-(-3)|=|3|$ となることから成り立ちますね。

この性質も、問題を解く際に重要なカギとなってきますので、ぜひ押さえておきましょう。

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分数の絶対値の外し方

これまで、整数の絶対値について考えてきました。

では、分数や小数の絶対値はどうなるのでしょうか…。

実は、分数や小数も全く同じようにできます!

先ほど「絶対値の性質」で“実数”という言葉を出しました。

その実数というのは、整数も分数も含んだ数のことです。
※もっともっといろいろな数を含んでいますが、それは学年が進んでから勉強します。

よって、たとえば$$|\frac{5}{4}|=\frac{5}{4}$$ですし、$$|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}$$となるわけです。

数直線でも考えてみましょう。

↓↓↓

分数や小数は、ある $2$ つの整数の間にある数でしたね。

確認しておくと、$$1<\frac{5}{4}<2$$ですし、$$-1<-\frac{1}{3}<0$$です。

「分数」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

絶対値の計算問題や応用問題

さて、絶対値の意味はバッチリ理解できましたか。

それでは最後に、絶対値のいろんな問題パターンに触れておきましょう。

問題1. 次の絶対値を求めよ。
(1) $-100$   (2) $5.5$
(3) $0$  (4) $π$
※$π=3.141592…$ は円周率のこと。

(4)は円周率と言います。

これも実数ではあるので、同じように考えることができます。

【解答】

(1) $|-100|=100$

(2) $|5.5|=5.5$

(3) $|0|=0$

(4) $|π|=π$

(解答終了)

注意していただきたいのが、(3)ですね。

「 0 の絶対値」の意味は、「 0 から 0 までの距離」となるので、答えは 0 になります。

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問題2. 次の数を絶対値の小さい順に並べよ。
$$-1 , 2 , -\frac{5}{3} , 0 , \frac{9}{4}$$

よく出題される絶対値の応用問題です。

このような「~順に並べよ」という問題には、数直線が便利です。

【解答】

数直線より、0 から近い順に並べると、$$0 , -1 , -\frac{5}{3} , 2 , \frac{9}{4}$$

(解答終了)

数だけだと中々イメージしづらいですが、図を書くことで視覚的にもわかりやすくなりますね♪

では、最後の問題です!

問題3. 絶対値が $1$ より大きく $4$ 以下である整数をすべて答えよ。

現時点で一番難しい応用問題です。

また、「~より大きい・小さい」と「~以上・以下」の違いにも注意してくださいね^^

【解答】

絶対値が $1$ である整数は $1$、$-1$ の二つである。

また、絶対値が $4$ である整数は $4$、$-4$ の二つである。

よって、絶対値が $1$ より大きく $4$ 以下である整数は、$$-4 , -3 , -2 , 2 , 3 , 4$$の六つである。

(解答終了)

※「~より」のときはその数は含まず、「~以上・以下」のときはその数を含みます。

これも数直線で見た方がわかりやすいでしょう。

↓↓↓

その数を含む範囲のとき「黒丸」で、その数を含まない範囲のとき「白丸」で表すのが一般的です。

絶対値が $1$ より大きく $4$ 以下である範囲というのは、「絶対値が $4$ 以下の範囲から絶対値が $1$ 以下の範囲を除いた部分」となります。

したがって、$$-4≦x<-1 または 1<x≦4$$を満たす整数 $x$ をすべて求めてあげればOKです。

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絶対値に関するまとめ

絶対値の基本は「原点 O からの距離」です。

これから様々な場面で絶対値が登場してきますので、この定義だけは押さえておきましょう。

また、この理解ができていると、これからの数学の勉強にとても役に立ちます。

↓↓↓

今は数直線上でのお話( $1$ 次元)でしたが、これから座標平面( $2$ 次元)や座標空間( $3$ 次元)でのお話に進化していきます。

ただ、何次元になっても「原点 O からの距離」を“絶対値”を用いて表すことがほとんどです。

ちなみに、この距離を求めるには、中学3年生で習う「三平方の定理(ピタゴラスの定理)」の知識が必要になってきます。

≫参考記事:三平方の定理とは?【応用問題パターンまとめ10選】

もう一つ。これまた中学3年生で「平方根(ルート)」という数について学びます。

平方根とは、「 $2$ 乗したときに元の値に等しくなる数」のことで、たとえば$$\sqrt{4}=2$$であったり$$\sqrt{9}=3$$であったりします。

ここで、実数 $a$ に対して$$\sqrt{a^2}=|a|$$という重要な性質があるのですが、この絶対値を付け忘れる生徒さんが多いです!

なぜ絶対値が必要なのかについては、「平方根」に関するこちらの記事をご覧ください。

⇒⇒⇒(後日書きます。)

絶対値の定義を正しく理解し、今後の勉強に役立てて下さいね♪

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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