こんにちは、ウチダショウマです。
今日は、中一で習う最初の関門
「正負の数」
について、まずマイナスとは何かから、減法(引き算)の符号の仕組みやマイナスの掛け算(乗法)の仕組みなど、詳しく解説していきます。
負の数とは何か
例えば、りんごの個数が0個より小さいことってありますか？
答えは「NO」ですよね。
「りんごがない…0個」という意味ですから、それ以下の個数は存在しないわけです。
こう見ていくと、1や2や0.5といったプラスの数だけで何とかなりそうな気がしますよね。
ですが、次のような場合はどうでしょうか。↓↓↓
※気象庁のHPより引用
この図は、今僕が記事を書いている2019年4月16日現在の日本の気温です。
右側に温度が書いてありますが、「-5」という数字が見えるでしょうか。
そうなんです！実は温度を表す際には、0よりも小さい数が存在していて、それらをマイナスという符号を用いて表すことにしているのです！
ここでこんな疑問が生まれてきます。
今日はまずこの疑問にお答えしましょう！！
負の数を使う理由とは！？
先ほどの疑問について考えていくには、
「0をどのような数として定義しているか」
これを明らかにしなければなりません。
皆さん、そもそも「0度」ってどういう温度か説明できますか？
理科の授業を思い出してみてください。
ヒントは、「100度になると水は沸騰する」です！
…もうお分かりですかね。
答えは、「氷から水に溶け始める温度」ですね！
つまり、「0度」というのは、あくまで一つの「基準」であって、りんごが0個の0とは意味合いが異なってくるのです。(ここがポイント！)
したがって、
- 0度よりも高い温度…「＋(プラス、正)」
- 0度よりも低い温度…「ー(マイナス、負)」
という符号を用いて表すことにしたよー、ということです。
ここでいったんまとめると…
温度が0度…氷が水に溶け始める「基準」なので、それより小さい数はある。
ですから、「0という数が何かの基準なのかどうか」を考えていくと、マイナスの意味も分かってくるかと思います。
ではこれで、「-5度」などの正体はつかめました。
しかし！
「りんごが-1個」とか、「-5キログラム」とか、「-2時間」とか…
こういう数も聞いたことが少なからずありますよね…。
では次の疑問。
これについて詳しく見ていきます！
負の数の減法
はじめに結論を言ってしまうと、「りんごが-1個」という数はありえません。
じゃあ、なんでありえない数なのに日常会話で出てくるのか…
ここに、「四則演算の加法減法」がかかわってきます！
問題を通して見ていきましょう。↓↓↓
問題1.りんごが5個ありました。たかし君は人目を盗んで、りんごを3個食べました。残りのりんごはいくつありますか？
この問題の解答は$$5-3=2(個)$$になりますね。
では、次のような問題の場合どうでしょう。
問題2.りんごが3個ありました。たかし君はどうしてもりんごが5個食べたいです。あと何個りんごがあればよいですか？
先ほどと同じように考えていくと、
※この式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)
をしたわけですから、今回もそのように計算していきましょう。
すると、$$3-5$$となってしまいました。
小学校までですと、「大きい数から小さい数を引く」というのがルールでした。
しかし、ここで負の数を定義することで、「小さい数から大きい数を引いてもOK」となります。(これが便利なんですね！)
よって、この問題の解答は、$$3-5=-2(個)$$になってしまいました。
さて、ここまでの話をまとめると…
- 問題1では、りんごが余った…「+(プラス、正)」の数
- 問題2では、りんごが足りない…「ー(マイナス、負)」の数
ということになりませんか…？？？
つまり、これらのことから分かるのは…
この「逆」というのがポイントです！！
(ようは、りんごが-1個というのは実際には表せなくて、「りんごが1個足りないよー」だとか「りんごが1個減っちゃったよー」だとか、そういう状況を表しているよ、ということです。)
今の話を図で表すとこうなります。↓↓↓
では、最後にこんな問題を解いてみましょう。
問題3.りんごが3個ありました。たかし君はいつもりんごを食べてばっかりなので、2個食べるかと思いきや2個家から持ってきて、寄付しました。残りりんごは何個ありますか？
あえて問題を少し複雑にしましたが、
「2個食べるかとおもいきや」
ここがこの問題のポイントです。
いつもたかし君はりんごを食べています。
しかし、ここでは、それと「逆」のことをしているわけですよね。
また、りんごを食べる→りんごが減る→負の数なので、これらのことを合わせると…$$3-(-2)$$ということになりませんか！？
(「-2」というのは、「りんごを2個食べる」という行為です。しかし、たかし君は実はりんごを食べておらず、その逆の行動をしているので、逆を表す「マイナス」が登場します。)
今、ちょっと難しく考えてみましたが、この問題は、
3個あったところに2個加えた
っていうだけなので、$$3+2=5(個)$$ですよね。
…お！つまり、$$3-(-2)=3+2=5(個)$$ということになりませんか！？
よって、「負の数の減法は加法になる！」ことがわかりましたね＾＾
では、最後に、負の数を用いた四則演算(加減乗除)について見ていきましょう。
負の数の四則演算
【加法(足し算)】
これは、先ほどの例でも見た通り、$$3+(-2)=3-2=1$$というふうに計算できます。
【減法(引き算)】
これも、先ほどの例で見た通り、$$3-(-2)=3+2=5$$というふうに計算できます。
【乗法(掛け算)】
本題はここからですね！
「負の数の掛け算はどう表せばいいんだろう…？」
しかしポイントはどこまでいっても「逆」です。
図を見てみましょう。↓↓↓
まず$$3×2=6$$を計算します。
次に、それを「0を基準として」逆側へ送ります。
これで、$$3×(-2)=-6$$と計算ができました。
図にも書いてある通り、「0を基準として」逆側に送ってから、同じ方向に2倍しても計算結果は同じになります。
このように考えていくと、$$(-3)×(-2)=6$$であることがわかります。(なぜこうなるのか、友達に説明してみましょう。ポイントはここでも「逆」ですね！)
答えはこうなります。↓↓↓
つまり$$(-3)×(-2)=6$$ですね。(マイナスを2回かけると、逆の逆でプラスに戻ってくる、ということです＾＾)
【除法(割り算)】
除法については、基本的に掛け算と同じです。(マイナスで2回割れば、プラスになります。)
「除法についてよくわからない」という方は、以下の記事が参考になるかと思いますので、ぜひご覧ください。
↓↓↓
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ！ポイントは比の考え方とうまく結びつけること！
正負の数に関するまとめ
いかがだったでしょうか。
負の数のポイントは、何回もお伝えした通り「逆」です。
この感覚さえつかめれば、正負の数はマスターしたといっても過言ではありません！
このポイントだけはいつまでも忘れないようにしておきましょう☆
以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！
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