負の数の引き算(減法)と掛け算(乗法)の解き方や符号の変化を解説!【中一数学練習問題】

こんにちは、ウチダショウマです。

今日は、中一で習う最初の関門

「正負の数」

について、まずマイナスとは何かから、減法(引き算)の符号の仕組みやマイナスの掛け算(乗法)の仕組みなど、詳しく解説していきます。

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目次

負の数とは何か

例えば、りんごの個数が0個より小さいことってありますか?

答えは「NO」ですよね。

「りんごがない…0個」という意味ですから、それ以下の個数は存在しないわけです。

こう見ていくと、1や2や0.5といったプラスの数だけで何とかなりそうな気がしますよね。

ですが、次のような場合はどうでしょうか。↓↓↓


気象庁のHPより引用

この図は、今僕が記事を書いている2019年4月16日現在の日本の気温です。

右側に温度が書いてありますが、「-5」という数字が見えるでしょうか。

そうなんです!実は温度を表す際には、0よりも小さい数が存在していて、それらをマイナスという符号を用いて表すことにしているのです!

ここでこんな疑問が生まれてきます。

なぜ0より小さい数が出てくるの?

今日はまずこの疑問にお答えしましょう!!

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負の数を使う理由とは!?

先ほどの疑問について考えていくには、

0をどのような数として定義しているか

これを明らかにしなければなりません。

皆さん、そもそも「0度」ってどういう温度か説明できますか?

理科の授業を思い出してみてください。

ヒントは、「100度になると水は沸騰する」です!

…もうお分かりですかね。

答えは、氷から水に溶け始める温度ですね!

つまり、「0度」というのは、あくまで一つの「基準」であって、りんごが0個の0とは意味合いが異なってくるのです。(ここがポイント!)

したがって、

  • 0度よりも高い温度…「+(プラス、正)」
  • 0度よりも低い温度…「ー(マイナス、負)」

という符号を用いて表すことにしたよー、ということです。

ここでいったんまとめると…

りんごが0個…「りんごがない」なので、それより小さい数はない。
温度が0度…氷が水に溶け始める「基準」なので、それより小さい数はある。

ですから、「0という数が何かの基準なのかどうか」を考えていくと、マイナスの意味も分かってくるかと思います。

ではこれで、「-5度」などの正体はつかめました。

しかし!

「りんごが-1個」とか、「-5キログラム」とか、「-2時間」とか…

こういう数も聞いたことが少なからずありますよね…。

では次の疑問。

りんごが-1個って、つまりどういう意味???

これについて詳しく見ていきます!

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負の数の減法

はじめに結論を言ってしまうと、「りんごが-1個」という数はありえません

じゃあ、なんでありえない数なのに日常会話で出てくるのか…

ここに、「四則演算の加法減法」がかかわってきます!

問題を通して見ていきましょう。↓↓↓

問題1.りんごが5個ありました。たかし君は人目を盗んで、りんごを3個食べました。残りのりんごはいくつありますか?

この問題の解答は$$5-3=2(個)$$になりますね。

では、次のような問題の場合どうでしょう。

問題2.りんごが3個ありました。たかし君はどうしてもりんごが5個食べたいです。あと何個りんごがあればよいですか?

先ほどと同じように考えていくと、

\begin{align}(じっさいにあるりんご)-(たかし君が食べたりんご)\end{align}

※この式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

をしたわけですから、今回もそのように計算していきましょう。

すると、$$3-5$$となってしまいました。

小学校までですと、「大きい数から小さい数を引く」というのがルールでした。

しかし、ここで負の数を定義することで、「小さい数から大きい数を引いてもOK」となります。(これが便利なんですね!)

よって、この問題の解答は、$$3-5=-2(個)$$になってしまいました。

さて、ここまでの話をまとめると…

  • 問題1では、りんごが余った…「+(プラス、正)」の数
  • 問題2では、りんごが足りない…「ー(マイナス、負)」の数

ということになりませんか…???

つまり、これらのことから分かるのは…

負の数は、正の数ののことを表している!!

このというのがポイントです!!

(ようは、りんごが-1個というのは実際には表せなくて、「りんごが1個足りないよー」だとか「りんごが1個減っちゃったよー」だとか、そういう状況を表しているよ、ということです。)

今の話を図で表すとこうなります。↓↓↓

  

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では、最後にこんな問題を解いてみましょう。

問題3.りんごが3個ありました。たかし君はいつもりんごを食べてばっかりなので、2個食べるかと思いきや2個家から持ってきて、寄付しました。残りりんごは何個ありますか?

あえて問題を少し複雑にしましたが、

「2個食べるかとおもいきや」

ここがこの問題のポイントです。

いつもたかし君はりんごを食べています。

しかし、ここでは、それと「逆」のことをしているわけですよね。

また、りんごを食べる→りんごが減る→負の数なので、これらのことを合わせると…$$3-(-2)$$ということになりませんか!?
(「-2」というのは、「りんごを2個食べる」という行為です。しかし、たかし君は実はりんごを食べておらず、その逆の行動をしているので、逆を表す「マイナス」が登場します。)

今、ちょっと難しく考えてみましたが、この問題は、

3個あったところに2個加えた

っていうだけなので、$$3+2=5(個)$$ですよね。

…お!つまり、$$3-(-2)=3+2=5(個)$$ということになりませんか!?

よって、負の数の減法は加法になる!ことがわかりましたね^^

では、最後に、負の数を用いた四則演算(加減乗除)について見ていきましょう。

負の数の四則演算

【加法(足し算)】

これは、先ほどの例でも見た通り、$$3+(-2)=3-2=1$$というふうに計算できます。

【減法(引き算)】

これも、先ほどの例で見た通り、$$3-(-2)=3+2=5$$というふうに計算できます。

【乗法(掛け算)】

本題はここからですね!

「負の数の掛け算はどう表せばいいんだろう…?」

しかしポイントはどこまでいってもです。

図を見てみましょう。↓↓↓

まず$$3×2=6$$を計算します。

次に、それを「0を基準として」逆側へ送ります。

これで、$$3×(-2)=-6$$と計算ができました。

(補足)
図にも書いてある通り、「0を基準として」逆側に送ってから、同じ方向に2倍しても計算結果は同じになります。

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このように考えていくと、$$(-3)×(-2)=6$$であることがわかります。(なぜこうなるのか、友達に説明してみましょう。ポイントはここでもですね!)

答えはこうなります。↓↓↓

つまり$$(-3)×(-2)=6$$ですね。(マイナスを2回かけると、逆の逆でプラスに戻ってくる、ということです^^)

【除法(割り算)】

除法については、基本的に掛け算と同じです。(マイナスで2回割れば、プラスになります。)

「除法についてよくわからない」という方は、以下の記事が参考になるかと思いますので、ぜひご覧ください。

↓↓↓

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正負の数に関するまとめ

いかがだったでしょうか。

負の数のポイントは、何回もお伝えした通りです。

この感覚さえつかめれば、正負の数はマスターしたといっても過言ではありません!

このポイントだけはいつまでも忘れないようにしておきましょう☆

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

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