組分け問題全８パターン+αを解説【区別の有無で数学的な考え方が変わる】

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「組分け問題（部屋割り問題）」に対して、

数学太郎

ややこしすぎ！問題パターンが多くて、解く方針すら分からないよ。

数学花子

階乗で割ったりすることがあるけど、あれは何なの？応用問題になるとサッパリです。

こういうイメージを持っていませんか？

組分け問題というのは、たとえばこんな問題。

(1)の答えは、${}_5{C}_{2}=10$ 通りとなりますが、

(2)の答えは、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{2}×{}_3{C}_{2}}{2!}=15$ 通りとなります。

ウチダ

「な～～～～～ぜ～～～～～だ～～～～～。」そう感じてしまって当然ですよ。

よって本記事では、組分け問題をパターン別に分類し、どんな組分け問題でも怖いものなしになるよう

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
• （専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

組分け問題の全８パターン＋αとは【モノ（人）の区別・組の区別・要素の個数の指定で場合分けだ！】

全 $8$ パターンとお伝えする理由。

それは…

• モノ（人）の区別の有無　→　$2$ 通り
• 組の区別の有無　　　　　→　$2$ 通り
• 要素の項数の指定の有無　→　$2$ 通り

以上より、$2^3=8$ 通りのパターンがあるからです。

簡易的ではありますが、一度図解しておきますね。

ウチダ

$2$ 点ほど補足しておきます。

①モノが人である場合、場合の数の原理原則に基づき区別します。

②モノの区別がなく、要素の個数が指定されている場合の数は $1$ 通りしか存在しないため、問題になることはありません。よって、「 / 」で表記しました。

上記の図を覚える必要はなく、あくまで意味が大体理解できるようになればOKです☆

ようは、「何を基準に場合分けをする必要があるのか」を知ることが大切だということですね。

さて、タイトルに含まれている不穏な文字、“＋α”。

これは何を意味しているかというと…
「 $0$ 個の組を許すか否か」
これです。

たとえば、$2$ 部屋 $A$，$B$ に分けるとき、

• $A$，$B$ のどちらかが空き部屋になってもいい
• 空き部屋ができないように分ける

それぞれの条件下において、場合の数は変わってきますよね。

ウチダ

具体的な求め方は、実際の問題を通して見てもらいましょう。ここで $1$ つ補足しておくならば、「空き部屋がある場合だけを求めて、それを引く。」これをすれば、ほとんどの組分け問題で上手くいきます。

組分け問題の応用２選で練習してみよう

ここからは、実際に組分け問題にチャレンジすることで、知識の定着を図っていきます。

グループの分け方

とりあえずノーヒントで解答を記していきます。

「自分で考えて解きたい…！」という方は、ぜひ問題に取り組んでから解答をご覧ください。

↓↓↓

【解答】

(1)　$3$ 組の人数がすべて違うので、組の区別は自然と付く。

よって、${}_9{C}_{2}×{}_7{C}_{3}=36×35=1260$ 通り。

(2)　組の区別があるので、${}_9{C}_{3}×{}_6{C}_{3}=84×20=1680$ 通り。

(3)　組の区別がないので、$\displaystyle \frac{{}_9{C}_{3}×{}_6{C}_{3}}{3!}=\frac{1680}{6}=280$ 通り。

(4)　$5$ 人の組と $2$ 人の組は自然と区別がつく。

しかし $2$ 人の組は $2$ 組あり、そこには区別がない。

したがって、$\displaystyle \frac{{}_9{C}_{2}×{}_7{C}_{2}}{2!}=\frac{756}{2}=378$ 通り。

(5)　$2$ 組をそれぞれ $A$，$B$ と区別して考える。

ここで、$1$ 人に対して $A$，$B$ どちらに分けるかの $2$ 通りが考えられるので、重複順列の総数より $2^9$ 通りが基準となる。

ⅰ）…「 $2$ 組に分ける」ということは、必ず $1$ 人は在籍する必要がある。

よって、「全員が $A$ 」「全員が $B$ 」の $2$ 通りを除く必要がある。

ⅱ）…ⅰ）の $2$ 通りを除いた上で、本当は $A$，$B$ の区別はなかった。

よって、$2!$ で割る必要がある。

したがってⅰ）ⅱ）より、$\displaystyle \frac{2^9-2}{2!}=\frac{510}{2}=255$ 通り。

(解答終了)

この問題は「人を組に分ける」という設定なので、分けるモノに必ず区別があります。

先ほどの図と照らし合わせてみると、以下のようになります。

ウチダ

(5)の解答は、重複順列の知識が必須となります。また、重複順列は「 $0$ 個の組があってもよい」というのが前提の考え方なので、その場合を除く必要がありますね。詳しくは「重複順列の問題６選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】」の記事をご覧ください。

玉の分配の仕方（同じ色の玉に区別はない）

さて、場合の数の原理原則に基づき、同じ色の玉に区別はありません。

それでは、ノーヒントで解答に移ります。

↓↓↓

【解答】

(1)　$7$ 個の $〇$ と $3$ つの仕切り $|$ の順列の総数に等しいので、$({}_7{H}_{4}=){}_{10}{C}_{3}=120$ 通り。

(2)　箱（組）に区別がないので、すべて書き出して求める。

※この組合せは横にスクロールできます。

の $9$ 通り。

(3)　(2)のうち「 $0$ 」がある場合を除けばいいので、$9-7=2$ 通り。

(4)　それぞれの重複組合せを考えればよい。

ⅰ）赤玉 $7$ 個を $4$ つの箱 $A$，$B$，$C$，$D$ に分ける場合の数

(1)より、$120$ 通り。

ⅱ）青玉 $6$ 個を $4$ つの箱 $A$，$B$，$C$，$D$ に分ける場合の数

$6$ 個の $〇$ と $3$ つの仕切り $|$ の順列の総数に等しいので、$({}_6{H}_{4}=){}_{9}{C}_{3}=84$ 通り。

したがってⅰ）ⅱ）より、積の法則を用いて、$120×84=10080$ 通り。

(解答終了)

この問題に対しても、先ほどの図と照らし合わせてみましょうか。

ウチダ

(1)(4)については、重複組合せの知識が必須となりますね。詳しくは「重複組合せはなぜ仕切りを使うの？【整数解の個数を求める問題で鍛えよう】」の記事をご覧ください。

(2)(3)については、「樹形図を使う？使わない？【問題によって使い分けるコツを解説】」の記事にも書いてある通り、数え上げる状況 $2$ つに当てはまっています。

組分け問題に関するまとめ

今回はだいぶ疲れましたね(^_^;)

ただ、本記事のポイントである

• 「モノ（人）の区別」「組の区別」「要素の個数の指定」の $3$ つの基準で場合分けをする。
  • 覚えるのではなく発想を身に付けよう！
• 「要素の個数が $0$ が許されているか否か」には、常に注意を配ろう。

以上 $2$ 点を心に刻んで演習を積み重ねれば、自然と力が身に付いてきますので、頑張りましょうね！！

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以上、ウチダでした～。