こんにちは、ウチダショウマです。
小学校の算数の時間に習う「割り算」ですが、
「0で割ってはいけない」
理由をきちんと説明できるでしょうか？
実際に電卓で$5÷0$とか$0÷0$と打ち込むと、「Error(エラー)」と表示されてしまいます。
今日は「なぜ0で割ることができないか」割り算の定義から考えて、答えを出してみましょう。
0で割るとは？
まずそもそも、「0で割る」とはどういう状況でしょうか。
たとえば、$$6÷3$$であれば、「6個のりんごを3人に分けたんだなあ」と考えることができますし、$$7÷4$$であれば、「7個のバナナを4人に分けるけど、これだと余りが出ちゃうなあ」と考えられますよね。
これと同じように、$$6÷0$$について考えてみると、「6個のりんごを0人に分けた」つまり「りんごを分けていない」ということになってしまいますよね…
よって、りんごをそもそも分けていないのだから…
6÷0の答えはない！！！
何かを0で割ったときの答えというのは存在しないわけですね。
だから、0で割ってはいけないよ～ということになるのです。
今はすごい感覚的にお話をしましたが、これを論理的に考えていくと果たしてどうなるのか、気になりますよね！
次の章から詳しく見ていきましょう。
0で割ることを定義から考える
そもそも割り算の定義ってなんでしょう…
さきほど、りんごの話をしましたが、実はこれは割り算の使い方であって、定義ではありません。(ここは要注意です。)
割り算の定義を忘れている方も多いと思いますので、まとめておきます。
「ある数□で割る」というのは、「□の逆数(つまり$\frac{1}{□}$)をかける」に等しい。
分数の割り算のときに「逆数をかける」と習いましたよね！
実はこれが割り算の定義だったんです。
分数についてまとめた記事もありますので、気になる方は以下のリンクを参考にしてください。
↓↓↓
関連記事
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ！ポイントは比の考え方とうまく結びつけること！
ここで逆数についておさらいしておくと、逆数とは「かければ1になる数」ですね！
つまり、$2$の逆数は$$\frac{1}{2}(=0.5)$$だし、$\frac{3}{7}(=0.428571…)$の逆数は$$\frac{7}{3}(=2.3333…)$$だということです。
では0の逆数を考えてみましょうか。
0に何をかければ1になるでしょう…？
あれ？そもそも0って数は…
0に何をかけても0だし、何に0をかけても0
という数でしたよね！
つまり、0に何をかけようが0になってしまうので、$$0×□=1$$となる数は存在しないわけです。
よって、0には逆数がないので、0の逆数をかけることができないから、0で割ることもできないよ、という話になりますね！
りんごの話だけでなく、定義からも考えられるようになると、頭の中がスッキリしますね！
0の逆数が存在したらどうなるのか
先ほど、「0に何をかけても0」だとお話ししました。
では、仮に「0の逆数」つまり「0にかければ1になる数」が存在したとしたら、どんなことが起こってしまうでしょう。
(この「0の逆数」を、とりあえず分数みたいに$$\frac{1}{0}$$と書くことにします。)
なんと、、$1=2$というとんでもない式が成り立ってしまうことになります！！
いったいどういうことなんでしょう。。
0のもう一つの性質
0という数は、本当に特別な数で、
「どんな数に0を足したり引いたりしても変わらない」
という性質もありましたね。
つまり、$$2+0=2$$だし、$$7-0=7$$だということです。
ではこの性質を使って、$1=2$を証明していきましょう。
↓↓↓
【証明】
$0=0+0$は成り立っている。
この式の両辺に$\frac{1}{0}$をかけると、$$0×\frac{1}{0}=(0+0)×\frac{1}{0}$$
ここで、右辺に分配法則を使い、両辺を計算すると、$$1=1+1$$
よって、$1=2$が証明された。
(終了)
…やばいことが起きましたね！
そう、この原理を応用させれば、$1=3$でも、$5=7$でも、なんでも示せてしまうことになります…！
(0を何個足しても0ですから、$0+0+0=0+0+0+0+0$の式に同じことをすれば$3=5$が示せます。こんな感じです。)
したがって、「0の逆数が存在する」ということは、「数という考え方そのものがほろぶ」といっても過言ではありませんね(笑)。
(りんごが1個でも2個でも同じだったら、もうわけがわかりませんよね。)
このことからも、「0の逆数はあってはいけない数なんだ」と理解できると思います。
「分配法則」に関する詳しい解説はこちらから！！
⇒⇒⇒「分配法則のやり方とは？小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説！【分数や割り算も考察】」
「0で割る」と「0を割る」の違い
最後に、よく間違いやすい「0で割ることと0を割ることの違い」について話します。
今までの話から分かるとおり、0で割ってはいけません。
しかし、0を割ることには何の問題もありません。
いったいどういうことでしょうか。
たとえば、「りんご0個を5人に分けよう」としてみましょう。
このとき、そもそもりんごがないわけですから、誰もりんごをゲットできないですよね。
これを式にすると、$$0÷5=0$$ということになります。
よって、$$0÷6=0$$だし、$$0÷\frac{2}{3}=0$$だということがわかります。
(0をどんな数で割っても0なわけですね。)
「0で割る」と「0を割る」のちがい、なんとなくわかりましたか？
0を割る…分ける人はいるけどりんごがない→答えは0
図で表すとこんな感じです。
↓↓↓
ここのちがいはしっかり押さえておきましょう！！
0で割ることに関するまとめ
いかがだったでしょうか。
今日は、「0で割ることができない」理由を、さまざまな角度から解説してみました。
ここの話は、高校生でも意外とわかっていなかったりするので、ぜひ理解を深めておきましょう＾＾
混乱しやすい「分数の足し算引き算掛け算割り算」についての記事はこちら！！
↓↓↓
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ！ポイントは比の考え方とうまく結びつけること！
以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！
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