0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説!【答えはエラー?】

こんにちは、ウチダショウマです。

小学校の算数の時間に習う「割り算」ですが、

「0で割ってはいけない」

理由をきちんと説明できるでしょうか?

実際に電卓で$5÷0$とか$0÷0$と打ち込むと、「Error(エラー)」と表示されてしまいます。

今日はなぜ0で割ることができないか割り算の定義から考えて、答えを出してみましょう。

スポンサーリンク
目次

0で割るとは?

まずそもそも、「0で割る」とはどういう状況でしょうか。

たとえば、$$6÷3$$であれば、「6個のりんごを3人に分けたんだなあ」と考えることができますし、$$7÷4$$であれば、「7個のバナナを4人に分けるけど、これだと余りが出ちゃうなあ」と考えられますよね。

これと同じように、$$6÷0$$について考えてみると、「6個のりんごを0人に分けた」つまり「りんごを分けていない」ということになってしまいますよね…

よって、りんごをそもそも分けていないのだから…

6÷0の答えはない!!!

何かを0で割ったときの答えというのは存在しないわけですね。

だから、0で割ってはいけないよ~ということになるのです。

今はすごい感覚的にお話をしましたが、これを論理的に考えていくと果たしてどうなるのか、気になりますよね!

次の章から詳しく見ていきましょう。

スポンサーリンク

0で割ることを定義から考える

そもそも割り算の定義ってなんでしょう…

さきほど、りんごの話をしましたが、実はこれは割り算の使い方であって、定義ではありません(ここは要注意です。)

割り算の定義を忘れている方も多いと思いますので、まとめておきます。

(割り算の定義)
「ある数□で割る」というのは、「□の逆数(つまり$\frac{1}{□}$)をかける」に等しい。

分数の割り算のときに「逆数をかける」と習いましたよね!

実はこれが割り算の定義だったんです。

分数についてまとめた記事もありますので、気になる方は以下のリンクを参考にしてください。

↓↓↓

関連記事
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

ここで逆数についておさらいしておくと、逆数とは「かければ1になる数」ですね!

つまり、$2$の逆数は$$\frac{1}{2}(=0.5)$$だし、$\frac{3}{7}(=0.428571…)$の逆数は$$\frac{7}{3}(=2.3333…)$$だということです。

では0の逆数を考えてみましょうか。

0に何をかければ1になるでしょう…?

あれ?そもそも0って数は…

0に何をかけても0だし、何に0をかけても0

という数でしたよね!

つまり、0に何をかけようが0になってしまうので、$$0×□=1$$となる数は存在しないわけです。

よって、0には逆数がないので、0の逆数をかけることができないから、0で割ることもできないよ、という話になりますね!

りんごの話だけでなく、定義からも考えられるようになると、頭の中がスッキリしますね!

スポンサーリンク

0の逆数が存在したらどうなるのか

先ほど、「0に何をかけても0」だとお話ししました。

では、仮に「0の逆数」つまり「0にかければ1になる数」が存在したとしたら、どんなことが起こってしまうでしょう。
(この「0の逆数」を、とりあえず分数みたいに$$\frac{1}{0}$$と書くことにします。)

なんと、、$1=2$というとんでもない式が成り立ってしまうことになります!!

いったいどういうことなんでしょう。。

0のもう一つの性質

0という数は、本当に特別な数で、

どんな数に0を足したり引いたりしても変わらない

という性質もありましたね。

つまり、$$2+0=2$$だし、$$7-0=7$$だということです。

ではこの性質を使って、$1=2$を証明していきましょう。

↓↓↓

【証明】

$0=0+0$は成り立っている。

この式の両辺に$\frac{1}{0}$をかけると、$$0×\frac{1}{0}=(0+0)×\frac{1}{0}$$

ここで、右辺に分配法則を使い、両辺を計算すると、$$1=1+1$$

よって、$1=2$が証明された。

(終了)

スポンサーリンク

…やばいことが起きましたね!

そう、この原理を応用させれば、$1=3$でも、$5=7$でも、なんでも示せてしまうことになります…!
(0を何個足しても0ですから、$0+0+0=0+0+0+0+0$の式に同じことをすれば$3=5$が示せます。こんな感じです。)

したがって、「0の逆数が存在する」ということは、「数という考え方そのものがほろぶ」といっても過言ではありませんね(笑)。
(りんごが1個でも2個でも同じだったら、もうわけがわかりませんよね。)

このことからも、「0の逆数はあってはいけない数なんだ」と理解できると思います。

「分配法則」に関する詳しい解説はこちらから!!

⇒⇒⇒「分配法則のやり方とは?小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説!【分数や割り算も考察】

「0で割る」と「0を割る」の違い

最後に、よく間違いやすい0で割ることと0を割ることの違いについて話します。

今までの話から分かるとおり、0で割ってはいけません。

しかし、0を割ることには何の問題もありません。

いったいどういうことでしょうか。

たとえば、「りんご0個を5人に分けよう」としてみましょう。

このとき、そもそもりんごがないわけですから、誰もりんごをゲットできないですよね。

これを式にすると、$$0÷5=0$$ということになります。

よって、$$0÷6=0$$だし、$$0÷\frac{2}{3}=0$$だということがわかります。
(0をどんな数で割っても0なわけですね。)

「0で割る」と「0を割る」のちがい、なんとなくわかりましたか?

0で割る…りんごはあるけど分ける人がいない→答えはない
0を割る…分ける人はいるけどりんごがない→答えは0

図で表すとこんな感じです。

↓↓↓

ここのちがいはしっかり押さえておきましょう!!

0で割ることに関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、「0で割ることができない」理由を、さまざまな角度から解説してみました。

ここの話は、高校生でも意外とわかっていなかったりするので、ぜひ理解を深めておきましょう^^

混乱しやすい「分数の足し算引き算掛け算割り算」についての記事はこちら!!

↓↓↓

分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!

あわせて読みたい
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ!ポイントは比の考え方とうまく結びつけること!こんにちは、ウチダショウマです。今日は、小学校高学年で習う関門「分数」について、考え方と計算のやり方(足し算引き算掛け算割り算)を詳しく解説していきます!【分...

以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを!!

遊ぶ数学公式LINEやってます!

遊ぶ数学管理人「ウチダショウマ」に数学を直接教わることができるオンライン家庭教師サービス”Play MATH”を開始しました。

その他にも

・ウチダショウマとお話がしたい
・勉強に関する悩みを相談したい

などでもOKですので、ぜひ気軽にご連絡ください。

↓友達追加はこちらから↓

友だち追加

スポンサーリンク

コメント

コメントする

目次
閉じる