0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説!【答えはエラー?】

こんにちは、ウチダショウマです。

小学校の算数の時間に習う「割り算」ですが、

「0で割ってはいけない」

理由をきちんと説明できるでしょうか?

実際に電卓で$5÷0$とか$0÷0$と打ち込むと、「Error(エラー)」と表示されてしまいます。

今日はなぜ0で割ることができないか割り算の定義から考えて、答えを出してみましょう。

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目次

0で割るとは?

まずそもそも、「 $0$ で割る」とはどういう状況でしょうか。

たとえば、$$6÷3$$であれば、「 $6$ 個のりんごを $3$ 人に分けたんだなあ」と考えることができますし、$$7÷4$$であれば、「 $7$ 個のバナナを $4$ 人に分けるけど、これだと余りが出ちゃうなあ」と考えられますよね。

これと同じように、$$6÷0$$について考えてみると、「 $6$ 個のりんごを $0$ 人に分けた」つまり「りんごを分けていない」ということになってしまいますよね…

よって、りんごをそもそも分けていないのだから…

6÷0の答えはない!!!

という結論になります。

ウチダ

だから、0で割ってはいけないよ~ということになるのです。

今はすごい感覚的にお話をしましたが、これを論理的に考えていくと果たしてどうなるのか、気になりますよね!

次の章から詳しく見ていきましょう。

0で割ることを定義から考える

そもそも割り算の定義ってなんでしょう…

さきほど、りんごの話をしましたが、実はこれは割り算の使い方であって、定義ではありません(ここは要注意です。)

割り算の定義を忘れている方も多いと思いますので、まとめておきます。

(割り算の定義)
「ある数□で割る」というのは、「□の逆数 $\displaystyle \frac{1}{□}$ をかける」に等しい。

分数の割り算のときに「逆数をかける」と習いましたよね!

実はこれが割り算の定義だったんです。

ここで逆数についておさらいしておくと、逆数とは「かければ1になる数」ですね!

つまり、$2$ の逆数は$$\frac{1}{2}(=0.5)$$だし、$\displaystyle \frac{3}{7}(=0.428571…)$ の逆数は$$\frac{7}{3}(=2.3333…)$$だということです。

では $0$ の逆数を考えてみましょうか。

$0$ に何をかければ $1$ になるでしょう…?

あれ?そもそも $0$ って数は…

$0$ に何をかけても $0$ だし、何に $0$ をかけても $0$

という数でしたよね!

つまり、$0$ に何をかけようが $0$ になってしまうので、$$0×□=1$$となる数は存在しないわけです。

ウチダ

よって、$0$には逆数がないので、$0$の逆数をかけることができないから、$0$で割ることもできないよ、という話になります。

りんごの話だけでなく、定義からも考えられるようになると、頭の中がスッキリしますね!

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0の逆数が存在したらどうなるのか【結論:1=2が証明できます】

先ほど、「 $0$ に何をかけても $0$ 」だとお話ししました。

では、仮に「 $0$ の逆数」つまり「 $0$ にかければ $1$ になる数」が存在したとしたら、どんなことが起こってしまうでしょう。

なんと、、$1=2$というとんでもない式が成り立ってしまうことになります!!

いったいどういうことなんでしょう。。

0のもう一つの性質

$0$ という数は、本当に特別な数で、

どんな数に $0$ を足したり引いたりしても変わらない

という性質もありましたね。

つまり、$$2+0=2$$だし、$$7-0=7$$だということです。

ではこの性質を使って、$1=2$を証明していきましょう。

↓↓↓

【証明】

$0=0+0$は成り立っている。

この式の両辺に、$0$ の逆数 $\displaystyle \frac{1}{0}$ をかけると、$$0×\frac{1}{0}=(0+0)×\frac{1}{0}$$

ここで、右辺に分配法則を使い、両辺を計算すると、$$1=1+1$$

よって、$1=2$が証明された。

(終了)

…やばいことが起きましたね!

そう、この原理を応用させれば、$1=3$でも、$5=7$でも、なんでも示せてしまうことになります…!

ウチダ

$0$ を何個足しても $0$ ですから、$0+0+0=0+0+0+0+0$ の式に同じことをすれば $3=5$ が示せます。

したがって、「0の逆数が存在する」ということは、「数という考え方そのものがほろぶ」といっても過言ではありません。

このことからも、「0の逆数はあってはいけない数なんだ」と理解できると思います。

「分配法則」に関する詳しい解説はこちらから

「0で割る」と「0を割る」の違い

最後に、よく間違いやすい$0$ で割ることと $0$ を割ることの違いについて話します。

今までの話から分かるとおり、$0$ で割ってはいけません。

しかし、$0$ を割ることには何の問題もありません。

いったいどういうことでしょうか。

たとえば、「りんご $0$ 個を $5$ 人に分けよう」としてみましょう。

このとき、そもそもりんごがないわけですから、誰もりんごをゲットできないですよね。

これを式にすると、$$0÷5=0$$ということになります。

よって、$$0÷6=0$$だし、$$0÷\frac{2}{3}=0$$だということがわかります。

ウチダ

$0$ をどんな数で割っても $0$ なわけですね。

「0で割る」と「0を割る」のちがい、なんとなくわかりましたか?

0で割る…りんごはあるけど分ける人がいない→答えはない
0を割る…分ける人はいるけどりんごがない→答えは0

図で表すとこんな感じです。

ウチダ

ここの違いはしっかり押さえておきましょうね♪

0で割ることに関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、「 $0$で割ることができない」理由を、さまざまな角度から解説してみました。

ここの話は、高校生でも意外とわかっていなかったりするので、ぜひ理解を深めておきましょう^^

おわりです。

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