0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説！【答えはエラー？】

こんにちは、ウチダショウマです。

小学校の算数の時間に習う「割り算」ですが、

「0で割ってはいけない」

理由をきちんと説明できるでしょうか？

実際に電卓で$5÷0$とか$0÷0$と打ち込むと、「Error(エラー)」と表示されてしまいます。

今日は「なぜ0で割ることができないか」割り算の定義から考えて、答えを出してみましょう。

0で割るとは？

まずそもそも、「0で割る」とはどういう状況でしょうか。

たとえば、$$6÷3$$であれば、「6個のりんごを3人に分けたんだなあ」と考えることができますし、$$7÷4$$であれば、「7個のバナナを4人に分けるけど、これだと余りが出ちゃうなあ」と考えられますよね。

これと同じように、$$6÷0$$について考えてみると、「6個のりんごを0人に分けた」つまり「りんごを分けていない」ということになってしまいますよね…

よって、りんごをそもそも分けていないのだから…

6÷0の答えはない！！！

何かを0で割ったときの答えというのは存在しないわけですね。

だから、0で割ってはいけないよ～ということになるのです。

今はすごい感覚的にお話をしましたが、これを論理的に考えていくと果たしてどうなるのか、気になりますよね！

次の章から詳しく見ていきましょう。

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0で割ることを定義から考える

そもそも割り算の定義ってなんでしょう…

さきほど、りんごの話をしましたが、実はこれは割り算の使い方であって、定義ではありません。(ここは要注意です。)

割り算の定義を忘れている方も多いと思いますので、まとめておきます。

分数の割り算のときに「逆数をかける」と習いましたよね！

実はこれが割り算の定義だったんです。

分数についてまとめた記事もありますので、気になる方は以下のリンクを参考にしてください。

↓↓↓

関連記事
分数の足し算引き算掛け算割り算のやり方まとめ！ポイントは比の考え方とうまく結びつけること！

ここで逆数についておさらいしておくと、逆数とは「かければ1になる数」ですね！

つまり、$2$の逆数は$$\frac{1}{2}(=0.5)$$だし、$\frac{3}{7}(=0.428571…)$の逆数は$$\frac{7}{3}(=2.3333…)$$だということです。

では0の逆数を考えてみましょうか。

0に何をかければ1になるでしょう…？

あれ？そもそも0って数は…

0に何をかけても0だし、何に0をかけても0

という数でしたよね！

つまり、0に何をかけようが0になってしまうので、$$0×□=1$$となる数は存在しないわけです。

よって、0には逆数がないので、0の逆数をかけることができないから、0で割ることもできないよ、という話になりますね！

りんごの話だけでなく、定義からも考えられるようになると、頭の中がスッキリしますね！

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0の逆数が存在したらどうなるのか

先ほど、「0に何をかけても0」だとお話ししました。

では、仮に「0の逆数」つまり「0にかければ1になる数」が存在したとしたら、どんなことが起こってしまうでしょう。
(この「0の逆数」を、とりあえず分数みたいに$$\frac{1}{0}$$と書くことにします。)

なんと、、$1=2$というとんでもない式が成り立ってしまうことになります！！

いったいどういうことなんでしょう。。

0のもう一つの性質

0という数は、本当に特別な数で、

「どんな数に0を足したり引いたりしても変わらない」

という性質もありましたね。

つまり、$$2+0=2$$だし、$$7-0=7$$だということです。

ではこの性質を使って、$1=2$を証明していきましょう。

↓↓↓

【証明】

$0=0+0$は成り立っている。

この式の両辺に$\frac{1}{0}$をかけると、$$0×\frac{1}{0}=(0+0)×\frac{1}{0}$$

ここで、右辺に分配法則を使い、両辺を計算すると、$$1=1+1$$

よって、$1=2$が証明された。

(終了)

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…やばいことが起きましたね！

そう、この原理を応用させれば、$1=3$でも、$5=7$でも、なんでも示せてしまうことになります…！
(0を何個足しても0ですから、$0+0+0=0+0+0+0+0$の式に同じことをすれば$3=5$が示せます。こんな感じです。)

したがって、「0の逆数が存在する」ということは、「数という考え方そのものがほろぶ」といっても過言ではありませんね(笑)。
(りんごが1個でも2個でも同じだったら、もうわけがわかりませんよね。)

このことからも、「0の逆数はあってはいけない数なんだ」と理解できると思います。

「分配法則」に関する詳しい解説はこちらから！！

⇒⇒⇒「分配法則のやり方とは？小学生でもわかる教え方(説明)や証明を解説！【分数や割り算も考察】」

「0で割る」と「0を割る」の違い

最後に、よく間違いやすい「0で割ることと0を割ることの違い」について話します。

今までの話から分かるとおり、0で割ってはいけません。

しかし、0を割ることには何の問題もありません。

いったいどういうことでしょうか。

たとえば、「りんご0個を5人に分けよう」としてみましょう。

このとき、そもそもりんごがないわけですから、誰もりんごをゲットできないですよね。

これを式にすると、$$0÷5=0$$ということになります。

よって、$$0÷6=0$$だし、$$0÷\frac{2}{3}=0$$だということがわかります。
(0をどんな数で割っても0なわけですね。)

「0で割る」と「0を割る」のちがい、なんとなくわかりましたか？

図で表すとこんな感じです。

↓↓↓

ここのちがいはしっかり押さえておきましょう！！

0で割ることに関するまとめ

いかがだったでしょうか。

今日は、「0で割ることができない」理由を、さまざまな角度から解説してみました。

ここの話は、高校生でも意外とわかっていなかったりするので、ぜひ理解を深めておきましょう＾＾

混乱しやすい「分数の足し算引き算掛け算割り算」についての記事はこちら！！

↓↓↓

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以上、ウチダショウマでした。
それでは皆さん、よい数学Lifeを！！