線対称・点対称とは？【具体例６選と応用問題３選で解説します】

こんにちは、ウチダです。

さて、皆さんは「線対称・点対称（せんたいしょう・てんたいしょう）」の意味や具体例が、頭の中でパッと思い浮かびますか？

数学太郎

図形のイメージが中々持てないんだよね…意味を説明するとなると難しいなぁ。

数学花子

線対称・点対称な図形の具体例や、その応用問題の解き方が知りたいです！

線対称・点対称の応用問題は、かなり骨のある問題も多いですし、中学以降の数学にもつながってくる話が多いです。

ということで本記事では、線対称・点対称の意味や具体例６選から応用問題３選の解き方まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

線対称・点対称の意味をわかりやすく解説します

線対称な図形　→　折ってピッタリ重なる図形！
点対称な図形　→　半回転してピッタリ重なる図形！

「折って」と「半回転して」がかなりキーワードです。

あとはこの言葉たちと図のイメージをリンクさせることができれば、線対称・点対称マスターにかなり近づきます！

それではここからは、図形を用いて視覚的に理解していきましょう♪

線対称な図形の具体例３選

左から順番に、

• 矢印
• 正五角形
• 三つ葉

これらの図形は、青の点線で半分に折るとピッタリ重なります！

数学太郎

確かに重なるね！…今思ったんだけど、この青の点線は複数ありそうだよね。

ウチダ

いいところに気づきましたね～。青の点線は「対称の軸（たいしょうのじく）」と呼ばれ、実は対称の軸の本数を求める問題などが出題されやすいです！

Q.対称の軸はそれぞれ何本ある？？

左から順番に、

• 矢印　…　$1$ 本
• 正五角形　…　$5$ 本
• 三つ葉　…　$3$ 本

このように、図形によって対称の軸の本数は異なることがあります！

そしてこれは…図形を見て自分で考えていくことが重要なんですね～。

ウチダ

ただ一定の法則はあります！詳しくは後述の「対称の軸の本数を求める問題」の章で扱いますね。

点対称な図形の具体例３選

左から順番に、

• アルファベットのZ
• 平行四辺形
• 四つ葉

これらの図形は、緑の点を中心に半回転(=180°回転)するとピッタリ重なります！

数学花子

なるほど！言葉の意味の違いについて理解できました！ところで、「四つ葉」の図形は線対称とも言えそうじゃないですか？

ウチダ

またまた鋭い意見！ということで、「線対称と点対称の関係性」について、少し触れていきましょうか＾＾

Q.線対称と点対称に関係性はある？？

結論、点対称と線対称の間に関係性はほとんどありません。

ただし…

点対称であり線対称でもある図形の場合、対称の軸は必ず対称の中心(=緑の点)を通る。

という性質があります！

ウチダ

四つ葉は点対称かつ線対称の図形で、対称の軸の本数は $4$ 本で、全ての対称の軸は対称の中心を通ってますね。…あれ、なんだか法則が見つけられそうな感じがしてきましたね。

ここからは以上の話を踏まえ、実際に問題を解くことでより理解を深めていきましょう！

線対称・点対称の応用問題３選を一緒に解こう

ではお待ちかね、線対称と点対称の応用問題 $3$ 選を一緒に解いていきましょう！

対称の軸の本数を求める問題

問題１．次の図形において、対称の軸は何本あるか答えなさい。
(1)　正三角形
(2)　二等辺三角形（正三角形ではない）
(3)　正八角形
(4)　円
(5)　だ円（円ではない）

さて、実際に図形を書いてみるor頭の中で描いてみてから、解答をご覧ください！

問題１の解答例

よって、(1)～(5)の対称軸の本数は、

• (1)　$3$ 本
• (2)　$1$ 本
• (3)　$8$ 本
• (4)　無数にある
• (5)　$2$ 本

(解答終了)

さあ、皆さんは法則をある程度見つけることが出来たでしょうか？？

それではまとめです！

【対称の軸の本数】
①正 $n$ 角形の対称の軸の本数は、$n$ 本である！！
②それ以外の図形では、実際に探すしかない。

「正～」という図形には、①のような法則があることがわかりました。

また、(4)の円は、正～角形の”角（かど）”の部分を全て丸くした図形、と考えればつじつまが合います。

ウチダ

正 $100$ 角形、正 $1000$ 角形、…としていった最終形が「円（えん）」という考え方ですね。

(2)や(5)のように、歪み(ゆがみ)のある図形では実際に探すしかないので、その都度考えましょう。

対称の中心を見つける問題

問題２．次の点対称の図形において、対称の中心を作図しなさい。

さて、実際に定規を使って作図をしてみて、対称の中心を見つけていただければ幸いです。

問題２の解答例

【点対称な図形の対称の中心の見つけ方】
(1)　平行四辺形は、対角線を結んだ交点！
(2)　正六角形は線対称な図形でもあるから、対称の軸の交点！
(3)　Zは、180°回転して重なる点同士を結んだ線分の交点！
→点対称の意味をよく思い出し、交点を作ればOK!!

実際に作図をしてみた結果は以下の図の通り。

(解答終了)

これ、色んな解き方で解いてみましたが…

本質的には全て「180°回転させたらピッタリ重なる点同士を結んでいる」ということになります！

数学太郎

そっか！だからさっきちらっと話に上がった「対称の軸の交点＝対称の中心」、ということも言えるんだね。

ウチダ

そうです！ちなみに話が変わるけど、(1)の「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」という性質があります。この性質は、今回の点対称の話からでも理解できると思います！

点対称な図形の超超超代表例である”平行四辺形”の性質は、詳しくは中学2年生で習います。

気になる方は、こちらの記事もぜひあわせてご覧ください＾＾

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(1)　$x$ 軸に関して対称な点の座標
(2)　$y$ 軸に関して対称な点の座標
(3)　原点に関して対称な点の座標

さて、最後は少し派生して、「○○に関して対称な点の座標」を求めてみましょう！

ウチダ

ここまでで”線対称”や”点対称”について学習してきましたね。その知識を応用すれば、理解できない問題ではないので、ぜひ自分の頭で言葉の意味を考えて解いてみましょう！

問題３の解答例

(1)(2)は”線”に関して対称、(3)は”点”に関して対称。

ここから意味を考えると…

(1)(2)…○軸で折ったらピッタリ重なる点の座標を求める！
(3)　 …原点を中心に180°回転したらピッタリ重なる点の座標を求める！

以上のように考えることが出来る！

よって、解答は以下の図の通り。

(解答終了)

このように、線対称・点対称は中学以降でよく学ぶ”関数(かんすう)”の分野にも登場する、重要かつ基本的な考え方です。

ちょっと発展的な内容ですが、これらについてもう少し詳しく学びたい方は、以下の高校1年生向けの記事をご覧ください。

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線対称・点対称に関するまとめ

線対称・点対称に関する理解は深まったでしょうか？

最後に、本記事のポイントをまとめておきましょう！

1. 線対称な図形は「折ったらぴったり重なる」、点対称な図形は「半回転したらぴったり重なる」←ここがポイント！
2. 点対称な図形の代表例である「平行四辺形の性質」は中学2年生で学びます。
3. “対称”という考え方は、中学以降でもよく登場し、特に「グラフの対称移動」のような形で扱われます。

「対称とは何か」正しく説明できるまで深く理解し、今後の勉強をスムーズにしていきましょう！

おわりです。