線対称・点対称とは?【具体例6選と応用問題3選で解説します】

こんにちは、ウチダです。

さて、皆さんは「線対称・点対称(せんたいしょう・てんたいしょう)」の意味や具体例が、頭の中でパッと思い浮かびますか?

数学太郎

図形のイメージが中々持てないんだよね…意味を説明するとなると難しいなぁ。

数学花子

線対称・点対称な図形の具体例や、その応用問題の解き方が知りたいです!

線対称・点対称の応用問題は、かなり骨のある問題も多いですし、中学以降の数学にもつながってくる話が多いです。

ということで本記事では、線対称・点対称の意味や具体例6選から応用問題3選の解き方まで

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 実用数学技能検定1級保持
  • 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

線対称・点対称の意味をわかりやすく解説します

線対称な図形 → 折ってピッタリ重なる図形!
点対称な図形 → 半回転してピッタリ重なる図形!

「折って」と「半回転して」がかなりキーワードです。

あとはこの言葉たちと図のイメージをリンクさせることができれば、線対称・点対称マスターにかなり近づきます!

それではここからは、図形を用いて視覚的に理解していきましょう♪

線対称な図形の具体例3選

線対称な図形の具体例3選【矢印、正五角形、三つ葉】

左から順番に、

  • 矢印
  • 正五角形
  • 三つ葉

これらの図形は、青の点線で半分に折るとピッタリ重なります

数学太郎

確かに重なるね!…今思ったんだけど、この青の点線は複数ありそうだよね。

ウチダ

いいところに気づきましたね~。青の点線は「対称の軸(たいしょうのじく)」と呼ばれ、実は対称の軸の本数を求める問題などが出題されやすいです!

Q.対称の軸はそれぞれ何本ある??

対称軸の本数はそれぞれ異なる【線対称な図形】

左から順番に、

  • 矢印 … $1$ 本
  • 正五角形 … $5$ 本
  • 三つ葉 … $3$ 本

このように、図形によって対称の軸の本数は異なることがあります!

そしてこれは…図形を見て自分で考えていくことが重要なんですね~。

ウチダ

ただ一定の法則はあります!詳しくは後述の「対称の軸の本数を求める問題」の章で扱いますね。

点対称な図形の具体例3選

点対称な図形の具体例3選【Z(ゼット)、平行四辺形、四つ葉】

左から順番に、

  • アルファベットのZ
  • 平行四辺形
  • 四つ葉

これらの図形は、緑の点を中心に半回転(=180°回転)するとピッタリ重なります

数学花子

なるほど!言葉の意味の違いについて理解できました!ところで、「四つ葉」の図形は線対称とも言えそうじゃないですか?

ウチダ

またまた鋭い意見!ということで、「線対称と点対称の関係性」について、少し触れていきましょうか^^

Q.線対称と点対称に関係性はある??

点対称と線対称【相関はないが、点対称の中心は必ず通る】

結論、点対称と線対称の間に関係性はほとんどありません。

ただし…

点対称であり線対称でもある図形の場合、対称の軸は必ず対称の中心(=緑の点)を通る。

という性質があります!

ウチダ

四つ葉は点対称かつ線対称の図形で、対称の軸の本数は $4$ 本で、全ての対称の軸は対称の中心を通ってますね。…あれ、なんだか法則が見つけられそうな感じがしてきましたね。

ここからは以上の話を踏まえ、実際に問題を解くことでより理解を深めていきましょう!

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線対称・点対称の応用問題3選を一緒に解こう

ではお待ちかね、線対称と点対称の応用問題 $3$ 選を一緒に解いていきましょう!

対称の軸の本数を求める問題

問題1.次の図形において、対称の軸は何本あるか答えなさい。
(1) 正三角形
(2) 二等辺三角形(正三角形ではない)
(3) 正八角形
(4) 円
(5) だ円(円ではない)

さて、実際に図形を書いてみるor頭の中で描いてみてから、解答をご覧ください!

さあ、皆さんは法則をある程度見つけることが出来たでしょうか??

それではまとめです!

【対称の軸の本数】
①正 $n$ 角形の対称の軸の本数は、$n$ 本である!!
②それ以外の図形では、実際に探すしかない。

「正~」という図形には、①のような法則があることがわかりました。

また、(4)の円は、正~角形の”角(かど)”の部分を全て丸くした図形、と考えればつじつまが合います。

ウチダ

正 $100$ 角形、正 $1000$ 角形、…としていった最終形が「円(えん)」という考え方ですね。

(2)や(5)のように、歪み(ゆがみ)のある図形では実際に探すしかないので、その都度考えましょう。

対称の中心を見つける問題

問題2.次の点対称の図形において、対称の中心を作図しなさい。
点対称な図形の対称の中心を見つける問題

さて、実際に定規を使って作図をしてみて、対称の中心を見つけていただければ幸いです。

これ、色んな解き方で解いてみましたが…

本質的には全て「180°回転させたらピッタリ重なる点同士を結んでいる」ということになります!

数学太郎

そっか!だからさっきちらっと話に上がった「対称の軸の交点=対称の中心」、ということも言えるんだね。

ウチダ

そうです!ちなみに話が変わるけど、(1)の「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」という性質があります。この性質は、今回の点対称の話からでも理解できると思います!

点対称な図形の超超超代表例である”平行四辺形”の性質は、詳しくは中学2年生で習います。

気になる方は、こちらの記事もぜひあわせてご覧ください^^

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【中1数学】対称な点の座標を求める問題

問題3.点 $( \ 3 \ , \ 2 \ )$ について、それぞれの点の座標を答えなさい。
(1) $x$ 軸に関して対称な点の座標
(2) $y$ 軸に関して対称な点の座標
(3) 原点に関して対称な点の座標

さて、最後は少し派生して、「○○に関して対称な点の座標」を求めてみましょう!

ウチダ

ここまでで”線対称”や”点対称”について学習してきましたね。その知識を応用すれば、理解できない問題ではないので、ぜひ自分の頭で言葉の意味を考えて解いてみましょう!

このように、線対称・点対称は中学以降でよく学ぶ”関数(かんすう)”の分野にも登場する、重要かつ基本的な考え方です。

ちょっと発展的な内容ですが、これらについてもう少し詳しく学びたい方は、以下の高校1年生向けの記事をご覧ください。

線対称・点対称に関するまとめ

線対称・点対称に関する理解は深まったでしょうか?

最後に、本記事のポイントをまとめておきましょう!

  1. 線対称な図形は「折ったらぴったり重なる」、点対称な図形は「半回転したらぴったり重なる」←ここがポイント!
  2. 点対称な図形の代表例である「平行四辺形の性質」は中学2年生で学びます。
  3. “対称”という考え方は、中学以降でもよく登場し、特に「グラフの対称移動」のような形で扱われます。

「対称とは何か」正しく説明できるまで深く理解し、今後の勉強をスムーズにしていきましょう!

おわりです。

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