三平方の定理の逆はなぜ成り立つ?【わかりやすく解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、皆さんは「三平方の定理(別名ピタゴラスの定理)」をご存じでしょうか。

まだよく知らないという方は、以下の記事から読み進めることをオススメします。

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さて、この三平方の定理(ピタゴラスの定理)ですが…

なんと、その逆もまた成り立つわけですね。

ここで、こんな疑問が生まれてくるかと思います。

数学太郎のアイコン画像数学太郎
逆…?そもそも逆って何?よく女子高生が「逆に~」とか言うけど、アレと関係あるの?
数学花子のアイコン画像数学花子
逆はわかるんだけど、どうして三平方の定理の逆が成り立つの?三平方の定理の証明とはまた別なんだよね?

よって今回は、三平方の定理の逆にポイントをしぼり、それを用いる問題の解き方やその証明について、

  • 東北大学理学部数学科卒業
  • 教員採用試験1発合格 → 高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

三平方の定理の逆はなぜ成り立つ?【間接証明法を使います】

「 $P$ ならば $Q$ 」の逆というのは「 $Q$ ならば $P$ 」のこと。

つまり、

  • 三平方の定理…直角三角形であれば $a^2+b^2=c^2$ が成り立つ。
  • 三平方の定理の逆…$a^2+b^2=c^2$ が成り立てば、それは直角三角形である。

こういう違いがあります。

ウチダのアイコン画像ウチダ
逆について詳しく学習するのは高校1年生になってからです。もし興味のある方は「対偶とは?命題の逆・裏・対偶の意味や証明問題の具体例を解説!【高校数学】」をご覧ください。

さて、この三平方の定理の逆の証明として、最も有名なのが「同一法(どういつほう)」を用いる証明。

また、証明方法は大きく分けて

  • 直接証明法
  • 間接証明法

の $2$ 種類がありますが、同一法は間接証明法に分類されます

ウチダのアイコン画像ウチダ
間接証明法の中でも代表的なものとしてよく挙げられるのが「背理法(はいりほう)」と「対偶法(たいぐうほう)」。ここら辺の話も高校1年生内容ですので、詳しくは「背理法とは?ルート2が無理数である証明問題などの具体例をわかりやすく解説!【排中律】」の記事をご覧ください。ようは、ちょっと回りくどい証明方法、それが間接証明法ってことだけ押さえておけばOKです。

…ウチダさんの登場頻度が若干多いのが気になりますが、まあ難しい話だからしょうがない。(笑)

とりあえず、今回は間接証明法の入り口だけご紹介しようと思います。

三平方の定理の逆の証明は難しい【同一法】

先に言っておきますが、別に理解できないからといって落ち込む必要はありません

あくまで「こういう証明方法も存在するんだ~。」というスタンスで読み進めていただきたく思います。

【証明】

$a^2+b^2=c^2$ が成り立つ $△ABC$ は直角三角形であることを示すために、もう一つ別の直角三角形 $△A’B’C’$ を用意する。

三平方の定理の逆の証明は難しい【同一法】

ここで、$△A’B’C’$ が直角三角形であることから、$$a^2+b^2=c’^2 ……①$$

また仮定より、$$a^2+b^2=c^2 ……②$$

①、②より、$c’^2=c^2$ となり、$c’>0$、$c>0$ であるから、$$c’=c$$

よって、$△ABC$ と $△A’B’C’$ は3組の辺がそれぞれ等しいので、$△ABC ≡ △A’B’C’$

したがって、合同な図形の対応する角度は等しいので、$$∠ACB=∠A’C’B’=90°$$

≫参考記事:三角形の合同条件はなぜ3つ?証明問題をわかりやすく解説!【相似条件との違い】

(証明終了)

ちょっとややこしいので補足します。

使っていい前提条件は

  • $a^2+b^2=c^2$ が成り立つこと。
  • $△A’B’C’$ が直角三角形であること。

この $2$ つのみです。

また、勘の鋭い方は気づいたと思いますが、$△A’B’C’$ が直角三角形であることから、三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使ってますよね。

ようは、三平方の定理が成り立つことを利用して、三平方の定理の逆も成り立つことを証明しています。

ウチダのアイコン画像ウチダ
ちなみに、三平方の定理に依存しない証明方法も存在します。この証明は少し長くなってしまいますので、詳しく知りたい方はWikipedia「ピタゴラスの定理」をご参照ください。

また「なぜ同一法と名前が付けられているか」ですが、これはイメージ通りです。

ようは、別の $△A’B’C’$ を用意したけど、あーだこーだ式をいじくっていったら、結局 $△ABC$ と同じになっちゃった、というロジックだからですね。

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三平方の定理の逆を用いる問題の解き方

では最後に、練習問題を $1$ 問だけ解いて終わりにしましょう。

問題. (1)~(3)の $△ABC$ の中で、直角三角形であるものはどれか。すべて答えよ。
(1) $a=3(km)$、$b=5(km)$、$c=7(km)$
(2) $a=5\sqrt{2}(m)$、$b=2(m)$、$c=4\sqrt{3}(m)$
(3) $a=2(cm)$、$b=4\sqrt{2}(cm)$、$c=2\sqrt{7}(cm)$

単位は適当にばらけさせましたが、特に意味はありません。(^_^;)

三平方の定理の逆(ピタゴラスの定理の逆)を利用して、あざやかに解いてあげましょう!

【解答】

(1)の $△ABC$ において、一番長い辺は $c$ である。

ここで、$c^2=49$、$a^2+b^2=9+25=34$ なので、$$a^2+b^2<c^2$$

よって、直角三角形ではない。

(2)の $△ABC$ において、一番長い辺は $a$ である。

ここで、$a^2=50$、$b^2+c^2=4+48=52$ なので、$$b^2+c^2>a^2$$

よって、直角三角形ではない。

(3)の $△ABC$ において、一番長い辺は $b$ である。

ここで、$b^2=32$、$a^2+c^2=4+28=32$ なので、$$a^2+c^2=b^2$$

よって三平方の定理の逆より、直角三角形である。

したがって、(3)の $△ABC$ のみ直角三角形となる。

(解答終了)

「一番長い辺を~」の部分は最重要ポイントです。

なぜなら、直角三角形において、「一番長い辺 $=$ 斜辺」が成り立つからです。

まあ、これは図より明らかですが、高校1年生になって「三角形の辺と角の大小関係」について学ぶと、よりクリアに理解できるかと思います。

三平方の定理の逆を用いる問題【辺と角の大小関係】

三角形の辺と角の大小関係については、「三角形の成立条件を理解するたった1つのポイント【わかりやすく解説】」にて簡単に解説しております。

三平方の定理の逆に関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

  • 三平方の定理の逆の証明は「同一法」を使うから少し難しい。
    (難しいということは、「逆は必ずしも成り立たない」ということになります。)
  • 三平方の定理の逆を用いるときは、“どれが斜辺か”に注意する。

三平方の定理の逆の証明は $1$ つしか紹介しませんでしたが、三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明は $5$ つ解説しております。

もし気になる方は、以下の記事もあわせてご覧ください。

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以上、ウチダショウマでした。

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