こんにちは、ウチダショウマです。
いつもお読みいただきましてありがとうございます。
さて、確率の分野って専門用語が多いですよね~。
「同様に確からしい」「根元事象」「全事象」「空事象」などなど、たくさんあります。
その中でもよく出てくる「同様に確からしい」の定義がこれ!
ある試行において、どの根元事象が起こることも同程度に期待できるとき、これらの根元事象は「同様に確からしい」という。

これだけ見ると確かに難しそうに感じてしまいますが、実はメチャクチャ簡単なこと言ってます。
また、

こういう意見を持っている方も多いでしょう。
よって本記事では、同様に確からしいの意味や、「なぜ同様に確からしいが重要か」を、具体的な問題を通して
- 東北大学理学部数学科卒
- 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
- (専門は確率論でした。)
の僕がわかりやすく解説します。
同様に確からしいの定義とは【つまり「歪んでないサイコロ」ってこと。】
「同様に確からしい」っていうから難しそうに聞こえるのであって、
- 歪んでない(ゆがんでない)サイコロ
って言われたらどうですか?
歪んでないサイコロって、全部の目が同じくらい出るようになってます。
面はすべてで $6$ つなので、$1$ つ $1$ つの目の出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ になりますよね。


ようは、数学的に言葉で定義しないといけないので、その都合上難しく聞こえるだけであって、言ってることはごくごく当たり前のことなんですね。
同様に確からしくないと何がヤバいのか
以上の話を踏まえ、「同様に確からしくないと何がヤバいのか」について、サイコロを例に考えてみましょう。
…ゆ、ゆ、歪んでいる!?
ということは、$\displaystyle \frac{1}{6}$ とは言い切れないですよね。
つまり、「同様に確からしくないと、そもそも確率が定義できない。」という結論になります。
だって、事象 $A$ の確率 $P(A)$ というのは、
$$P(A)=\frac{事象 A の場合の数}{全事象の場合の数}$$
で定義しましたもんね。
補足
サイコロの例の場合、全事象は $\{1,2,3,4,5,6\}$ で、根元事象というのは $\{1\}$ や $\{2\}$ など、それぞれを指します。

また、サイコロの $1$ の目と $6$ の目では、掘る面の面積がそれぞれ異なるため、歪んでないサイコロを作るのは意外に難しいです。
あ、これは完全に余談です。
同様に確からしいが大切だとよくわかる問題3選
それでは、ここから実際に問題を解いていくことで、「なぜ同様に確からしいが重要か」を紐解いていきましょう。
具体的には
以上 $3$ 問を扱っていきます。
徐々にレベルアップしていきますよ!
※ $〇$ 問目の部分がリンクになっており、クリックすると問題へジャンプします。
玉を取り出す問題
まず、「同様に確からしい」を気にしないでみると、以下の図のように考えることもできます。

でもやっぱり、$\displaystyle \frac{1}{3}$ ではなさそうですよね。
ここで、確率の鉄則中の鉄則なんですが…
つまり、赤玉 $6$ 個をそれぞれ $赤A$ ~ $赤F$、白玉 $3$ 個をそれぞれ $白G$ ~ $白I$ みたいに、名前を付けてあげるのです。
すると、どの玉を取り出すのも同程度期待できるため、同様に確からしくなります。
では解答です。
【解答】
玉をすべて区別して考える。
全事象の場合の数、つまり $9$ 個の玉から $2$ 個を取り出す場合の数は、$\displaystyle {}_9{C}_{2}=\frac{9・8}{2・1}=36$ 通り。
問われている事象の場合の数、つまり白玉 $3$ 個から $2$ 個を取り出す場合の数は、$\displaystyle {}_3{C}_{2}={}_3{C}_{1}=3$ 通り。
したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ である。
(解答終了)

サイコロ2つの問題
この問題も、さっきと同じようにサイコロを区別して考えないと、同様に確からしさが保証されません。

よって、区別がつかないサイコロであるにもかかわらず、たとえば $A$,$B$ など区別をつけて考える必要があります。
【解答】
全事象の場合の数、つまりサイコロ $A$,$B$ の出目の組合せの総数は $6×6=36$ 通り。
問われている場合の数、つまり目の和が $6$ になる組合せは
$$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$$
の $5$ 通り。
したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{5}{36}$ である。
(解答終了)

2人の子ども問題【確率のパラドックス】
さて、最後の問題は、有名なパラドックス「 $2$ 人の子ども問題」です。
皆さんはこの答え、直感でいくつだと思いますか?
↓↓↓
おそらく、大勢の方が $\displaystyle \frac{1}{2}$ と答えたのではないでしょうか?
しかし、この問題の真の答えは $\displaystyle \frac{1}{3}$ になります!
【解答】
$2$ 人の子どもを $A$,$B$ として、表を書くとわかりやすい。

つまり、全事象が $(女,男),(男,女),(女,女)$ の $3$ 通りになり、問われている事象が $(女,女)$ の $1$ 通りになる、ということである。
したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ となる。
(解答終了)
この問題においても、$(女,男)$ となる場合が $(女,女)$ となる場合より $2$ 倍起きやすいことに注意して、同様に確からしくしてから考える必要がある、というわけですね。

同様に確からしいに関するまとめ
本記事のポイントを改めてまとめます。
- 同様に確からしい $=$ サイコロが歪んでいないこと!
- 区別がないものでも区別をつけて考えよう。
「同様に確からしい」は確率の定義に関わるものであり、一番の基礎と言えます。
しっかりマスターしておきましょう!
「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

以上です~。
コメント
コメント一覧 (2件)
ちょっと、生徒さん向けではないかもしれませんが、
独立事象の確率計算に「区別できない」という考えを
使うと論理的な矛盾を生じさせてしまうこと*
を教える立場の人のために解説して頂けないでしょうか。
*例えば、2個のサイコロを投げて
①両方とも偶数になる
②片方が偶数で片方が奇数になる
③両方とも奇数になる
という確率計算で明らかです。
【区別できる】
偶奇だけ見た場合の数①1通り②2通り③1通り
そこで確率は①1/4②1/2③1/4
目まで見た場合の数①9通り②18通り③9通り
確率は同じく①1/4②1/2③1/4となり合理性あり。
【区別できない】
偶奇だけ見た場合の数①1通り②1通り③1通り
そこで確率は①1/3②1/3③1/3
目まで見た場合の数①6通り②9通り③6通り
確率は①2/7②3/7③2/7と矛盾した結果になって
しまいます。
よろしくお願いいたします!
岡安一壽様
コメントありがとうございます!
そもそも確率を定義する際、根元事象がすべて同様に確からしくなければいけません。
よって、区別できないサイコロの場合、その①~③の定義だと確率を定義してはいけない、ということになります。
もっと踏み込んだ話をすれば、以下の3つの公理を満たしていればそれは「確率」として扱えます。
1.0≦P(A)≦1
2.P(S)=1
3.A,Bが排反⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)
ただ、この3つの公理の前提として、均一な量として定義された空間が必要条件なのです。
そして、その「均一な量」というのが、確率論で言うところの「同様に確からしさ」なのです。
同様に確からしい空間で定義をしないと矛盾が生じることは、もっと極端な例で解説されるとよりわかりやすいかと思います。
(例.白玉99個と赤玉1個が入っている袋から赤玉を引く確率)
…これで解答になってますでしょうか?