同様に確からしいは意味不明！？【そんなに難しいこと言ってないよ】

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、確率の分野って専門用語が多いですよね～。

「同様に確からしい」「根元事象」「全事象」「空事象」などなど、たくさんあります。

その中でもよく出てくる「同様に確からしい」の定義がこれ！

これだけ見ると確かに難しそうに感じてしまいますが、実はメチャクチャ簡単なこと言ってます。

また、

こういう意見を持っている方も多いでしょう。

よって本記事では、同様に確からしいの意味や、「なぜ同様に確からしいが重要か」を、具体的な問題を通して

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
• （専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

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同様に確からしいの定義とは【つまり「歪んでないサイコロ」ってこと。】

「同様に確からしい」っていうから難しそうに聞こえるのであって、

• 歪んでない（ゆがんでない）サイコロ

って言われたらどうですか？

歪んでないサイコロって、全部の目が同じくらい出るようになってます。

面はすべてで $6$ つなので、$1$ つ $1$ つの目の出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ になりますよね。

ようは、数学的に言葉で定義しないといけないので、その都合上難しく聞こえるだけであって、言ってることはごくごく当たり前のことなんですね。

同様に確からしくないと何がヤバいのか

以上の話を踏まえ、「同様に確からしくないと何がヤバいのか」について、サイコロを例に考えてみましょう。

…ゆ、ゆ、歪んでいる！？

ということは、$\displaystyle \frac{1}{6}$ とは言い切れないですよね。

つまり、「同様に確からしくないと、そもそも確率が定義できない。」という結論になります。

だって、事象 $A$ の確率 $P(A)$ というのは、

$$P(A)=\frac{事象 A の場合の数}{全事象の場合の数}$$

で定義しましたもんね。

補足

サイコロの例の場合、全事象は $\{1,2,3,4,5,6\}$ で、根元事象というのは $\{1\}$ や $\{2\}$ など、それぞれを指します。

また、サイコロの $1$ の目と $6$ の目では、掘る面の面積がそれぞれ異なるため、歪んでないサイコロを作るのは意外に難しいです。

あ、これは完全に余談です。

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同様に確からしいが大切だとよくわかる問題３選

それでは、ここから実際に問題を解いていくことで、「なぜ同様に確からしいが重要か」を紐解いていきましょう。

具体的には

• １問目　…　玉を取り出す問題
• ２問目　…　サイコロ $2$ つの問題
• ３問目　…　$2$ 人の子ども問題【確率のパラドックス】

以上 $3$ 問を扱っていきます。

徐々にレベルアップしていきますよ！

※ $〇$ 問目の部分がリンクになっており、クリックすると問題へジャンプします。

玉を取り出す問題

まず、「同様に確からしい」を気にしないでみると、以下の図のように考えることもできます。

でもやっぱり、$\displaystyle \frac{1}{3}$ ではなさそうですよね。

ここで、確率の鉄則中の鉄則なんですが…

つまり、赤玉 $6$ 個をそれぞれ $赤A$ ～ $赤F$、白玉 $3$ 個をそれぞれ $白G$ ～ $白I$ みたいに、名前を付けてあげるのです。

すると、どの玉を取り出すのも同程度期待できるため、同様に確からしくなります。

では解答です。

【解答】

玉をすべて区別して考える。

全事象の場合の数、つまり $9$ 個の玉から $2$ 個を取り出す場合の数は、$\displaystyle {}_9{C}_{2}=\frac{9・8}{2・1}=36$ 通り。

問われている事象の場合の数、つまり白玉 $3$ 個から $2$ 個を取り出す場合の数は、$\displaystyle {}_3{C}_{2}={}_3{C}_{1}=3$ 通り。

したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ である。

(解答終了)

サイコロ２つの問題

この問題も、さっきと同じようにサイコロを区別して考えないと、同様に確からしさが保証されません。

よって、区別がつかないサイコロであるにもかかわらず、たとえば $A$，$B$ など区別をつけて考える必要があります。

【解答】

全事象の場合の数、つまりサイコロ $A$，$B$ の出目の組合せの総数は $6×6=36$ 通り。

問われている場合の数、つまり目の和が $6$ になる組合せは

$$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$$

の $5$ 通り。

したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{5}{36}$ である。

(解答終了)

２人の子ども問題【確率のパラドックス】

さて、最後の問題は、有名なパラドックス「 $2$ 人の子ども問題」です。

皆さんはこの答え、直感でいくつだと思いますか？

↓↓↓

おそらく、大勢の方が $\displaystyle \frac{1}{2}$ と答えたのではないでしょうか？

しかし、この問題の真の答えは $\displaystyle \frac{1}{3}$ になります！

【解答】

$2$ 人の子どもを $A$，$B$ として、表を書くとわかりやすい。

つまり、全事象が $(女,男),(男,女),(女,女)$ の $3$ 通りになり、問われている事象が $(女,女)$ の $1$ 通りになる、ということである。

したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ となる。

(解答終了)

この問題においても、$(女,男)$ となる場合が $(女,女)$ となる場合より $2$ 倍起きやすいことに注意して、同様に確からしくしてから考える必要がある、というわけですね。

同様に確からしいに関するまとめ

本記事のポイントを改めてまとめます。

1. 同様に確からしい $=$ サイコロが歪んでいないこと！
2. 区別がないものでも区別をつけて考えよう。

「同様に確からしい」は確率の定義に関わるものであり、一番の基礎と言えます。

しっかりマスターしておきましょう！

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上です～。