分散公式とは？【導出から覚え方までわかりやすく解説します】

2019年12月8日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

分散の求め方には、定義に従って求める方法と「分散公式」を使って求める方法の $2$ 通りがあります。

さっそくですが、例題を解いてみましょう。

例題．$4$ 個のデータからなる変量 $x$ がある。
$$3 \ , \ 7 \ , \ 1 \ , \ 9$$このとき、分散 $s^2$ を求めなさい。

【定義通りに求める解法】

平均値 $\displaystyle \overline{x}=\frac{3+7+1+9}{4}=5$ より、

\begin{align}s^2&=\frac{1}{4}\{(3-5)^2+(7-5)^2+(1-5)^2+(9-5)^2\}\\&=\frac{1}{4}\{4+4+16+16\}\\&=\frac{40}{4}\\&=10\end{align}

※以降途切れている数式は横にスクロールできます。（スマホでご覧の方対象。）

【分散公式を使った解法】

データ $x_i$	$3$	$7$	$1$	$9$	計 $35$
データ ${x_i}^2$	$9$	$49$	$1$	$81$	計 $140$

よって、$\displaystyle \overline{x^2}=\frac{140}{4}=35$ より、

\begin{align}s^2&=\overline{x^2}-(\overline{x})^2\\&=35-5^2\\&=10\end{align}

もちろんですが、どちらの解法でも $s^2=10$ と正しい答えを導き出すことができます。

[ふきだし set=”悩む男性”]時と場合によっては分散公式の方が優秀そうですね。[/ふきだし]

数学花子

分散公式の導出から覚え方まで、わかりやすく解説してほしいです。

よって本記事では、分散公式の導出から覚え方について

東北大学理学部数学科卒業
教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ

の僕がわかりやすく解説します。

分散公式の導出【平均値の定義が大切です】

【分散公式】
$$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$$

分散公式を言葉で表すと、「( $x^2$ の平均値) $-$ ( $x$ の平均値の $2$ 乗)」となりますね。

それではこの公式を、さっそく証明していきましょう。

【証明】

分散の定義式を展開し、$\displaystyle \frac{1}{n}$ を分配すると、

\begin{align}s^2&=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2\}\\&=\frac{1}{n}\{({x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_n}^2)-2\overline{x}(x_1+x_2+…+x_n)+n(\overline{x})^2\\&=\frac{1}{n}({x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_n}^2)-2\overline{x}・\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+(\overline{x})^2\end{align}

平均値 $\overline{x}$ の定義は$$\overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)$$であり、同様に平均値 $\overline{x^2}$ の定義は$$\overline{x^2}=\frac{1}{n}({x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_n}^2)$$であることから、

\begin{align}s^2&=\frac{1}{n}({x_1}^2+{x_2}^2+…+{x_n}^2)-2(\overline{x})^2+(\overline{x}^2)\\&=\overline{x^2}-(\overline{x})^2\end{align}

(証明終了)

[ふきだし set=”ウチダ”]皆さん平均値はご存じだと思いますが、定義式をしっかりと覚えているでしょうか。分散公式の導出においては、平均値の定義式がカギとなります。[/ふきだし]

平均値などのデータの代表値については、「平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける？【３つの代表値を詳しく解説】」の記事で詳しく解説しております。