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反復試行の確率の公式【なぜ組合せCが出てくる?応用問題4選も解説】

2019 12/14
反復試行の確率の公式【なぜ組合せCが出てくる?応用問題4選も解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて突然ですが、反復試行(はんぷくしこう)の確率は以下の公式を用いて導くことができます。

【反復試行の確率】
$1$ 回の試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする。
このとき、独立な試行を $n$ 回行って $r$ 回 $A$ が起こる確率は
$${}_n{C}_{r}p^r(1-p)^{n-r}$$

…この公式がなぜ成り立つのか、しっかりと説明できますか?

悩む男性のアイコン画像悩む男性
反復試行の確率に「組合せの総数 $C$ 」が出てくる意味がわかってないんだよな~。

こういう方は多いです。

また、反復試行の確率の基本を理解できたとしても、

悩む女性のアイコン画像悩む女性
反復試行の確率の応用問題が本当に解けません!難しすぎないですか?

こういう方もいるでしょう。

まあ、実際難しいとは思います。(^_^;)

よって本記事では、「なぜ反復試行の確率の公式が成り立つのか」その意味から、応用問題 $4$ 問の解き方まで

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

反復試行の確率の公式【試行に対する2つの見方が重要です】

まずは具体的に、サイコロを例に考えていきましょう。

問題. サイコロを $5$ 回続けて投げるとき、$3$ の倍数の目がちょうど $2$ 回出る確率を求めなさい。

地味に「ちょうど」がキーワードだったりします。

また、サイコロ投げやコイントスのように、独立な試行を何回も繰り返した試行のことを「反復試行」と言います。

ウチダのアイコン画像ウチダ
反復試行を理解するためには「独立」の知識が必須です。詳しくは「排反と独立の違いとは?【ヒント:試行と事象】」の記事をご覧ください。

さて、以上を踏まえ、先にポイント $2$ つをまとめます!

  1. 「 $p^r(1-p)^{n-r}$ 」の部分 → 「独立な試行を $n$ 回繰り返す」として見る。
  2. 「 ${}_n{C}_{r}$ 」の部分 → 「 $n$ 回繰り返すという $1$ つの試行」として見る。

この意味がわかれば、公式の成り立ちが理解できたようなものです!

【①の解説】

$1$ 回サイコロを投げるとき、$3$ の倍数の目が出る確率は $\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。

よって、まずは回数に着目すると

  • $\displaystyle \frac{1}{3}$ が $2$ 回 → $\displaystyle (\frac{1}{3})^2$
  • $\displaystyle (1-\frac{1}{3})$ が $3$ 回 → $\displaystyle (\frac{2}{3})^3$

より、確率は $\displaystyle (\frac{1}{3})^2×(\frac{2}{3})^3$ と求めることができる。

反復試行の確率の公式【独立部分の解説】

(解説中断)

さあ、①の解説が終わりました。

画像の中の男の子も言ってますが、本当にこれだけしか条件を満たしませんか?

だって、$1$ 回目と $3$ 回目に $3$ の倍数の目が出る場合だってあるし、その場合も条件を満たしてますよね?

それでは仕上げです!

【②の解説】

$\displaystyle (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^3$ を何個足せばよいのか。

これは、以下のように組合せで考える。

反復試行の確率の公式【組合せの総数C部分の解説】

したがって、$\displaystyle (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^3$ の確率が ${}_5{C}_{2}$ 通りあるわけだから、積の法則より$${}_5{C}_{2}(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^3$$が導けた。

(解説終了)

いかがでしょう。

これで組合せの総数 $C$ が出てくる理由は理解できましたね!

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反復試行の確率の応用問題4選

それでは次に、反復試行の確率の応用問題を $4$ つ見ていきたいと思います。

先に一つ言っておきますが…

まあ難しいですよ!

ウチダのアイコン画像ウチダ
「ここまでの話がしっかり理解できていて、かつ基本問題は余裕で解ける」ぐらいでないと、この先の話はキツいです。

しかしながら、どれも重要な問題ですので、しっかり丁寧に解説していきます。

ご安心ください。

具体的には、

  • 全 $4$ 問のヒント
  • 1問目 … 試合で優勝する確率
  • 2問目 … 点の移動の問題
  • 3問目 … サイコロの最大最小
  • 4問目 … 確率の最大値

を上から順に解いていきます。

※「〇問目」の部分がリンクになっており、クリックすると問題へジャンプします。

ウチダのアイコン画像ウチダ
すぐ下に全 $4$ 問のヒントがありますので、飛ばしたい方は上のリンクをクリック!!

全4問のヒント

  • 試合で優勝する確率は「最後に必ず勝つ!」がポイント。
  • 点の移動の問題は「連立方程式」がポイント。
  • サイコロの最大最小は「ドーナツ図」がポイント。
  • 確率の最大値は「 $\displaystyle \frac{P_n}{P_{n+1}}$ 」がポイント。

試合で優勝する確率

問題. $A$,$B$ の $2$ チームが決勝戦を戦う。ルールは $3$ 勝先取。また、$A$ が勝つ確率は $\displaystyle \frac{2}{3}$ であるとし、引き分けはない。このとき、$A$ が優勝する確率を求めなさい。

「 $〇$ 勝先取」のやっかいなところは、$3$ 試合で終わってしまうこともあれば $5$ 試合までもつれ込むこともあるところですね。

よって、場合分けをする必要があります。

【解答】

$3$ つに場合分けして考える。

ⅰ)$3$ 連勝する場合の確率は、$\displaystyle (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$

ⅱ)$3$ 勝 $1$ 敗で優勝する場合

最後は必ず $A$ が勝つため、$2$ 勝 $1$ 敗になる確率に $\displaystyle \frac{2}{3}$ をかければOK。

よって確率は、$\displaystyle {}_3{C}_{2}(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^1×\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$

ⅲ)$3$ 勝 $2$ 敗で優勝する場合

最後は必ず $A$ が勝つため、$2$ 勝 $2$ 敗になる確率に $\displaystyle \frac{2}{3}$ をかければOK。

よって確率は、$\displaystyle {}_4{C}_{2}(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^2×\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$

したがってⅰ)~ⅲ)より、求める確率は、$\displaystyle \frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{16}{81}=\frac{64}{81}$ である。

(解答終了)

ウチダのアイコン画像ウチダ
たとえばⅲ)のとき、単に $\displaystyle {}_5{C}_{3}(\frac{2}{3})^3(\frac{2}{3})^2$ としてしまうと、たとえば「〇〇×〇×」も含みます。この場合って、もう $4$ 試合目で決着ついてますよね。ここが注意点です。

点の移動の問題

問題. 数直線上を動く点 $P$ が原点 $O$ の位置にある。$1$ 回サイコロを投げて、$3$ の倍数の目が出たときは $+1$、それ以外のときは $-2$ 移動する。サイコロを $7$ 回投げるとき、点 $P$ が $-2$ の位置にある確率を求めなさい。

さて、次は点 $P$ が移動する問題です。

この問題では、まず「 $+$ 方向に何回、$-$ 方向に何回進むか」を求める必要があります。

【解答】

$+$ 方向に $x$ 回、$-$ 方向に $y$ 回進むとする。

合わせて $7$ 回移動するので、$$x+y=7 ……①$$

移動後、$-2$ の位置に存在するので、$$x-2y=-2 ……②$$

①、②の連立方程式を解くと、$$x=4 , y=3$$

つまり、$\displaystyle \frac{1}{3}$ が $4$ 回、$\displaystyle \frac{2}{3}$ が $3$ 回出る反復試行の確率なので、求める確率は、$\displaystyle {}_7{C}_{4}(\frac{1}{3})^4(\frac{2}{3})^3=\frac{35×8}{3^7}=\frac{280}{2187}$ である。

(解答終了)

さらなる応用例として「座標平面上を動く」問題もありますが、落ち着いて連立方程式を解いて回数を求めてやれば、同じように解くことができます。

サイコロの最大最小

問題. サイコロを $n$ 回( $n≧2$ )投げる。このとき、次の確率を求めよ。
(1) 出る目の最大値が $5$ である確率
(2) 出る目の最大値が $5$ で、最小値が $2$ である確率

さあさあ、難易度がグッと一段階上がりました。

この問題含めてあと $2$ 問は、知らないと厳しいかな~という感じですが…頑張りましょう!

【解答】

最大値が $5$ なので、$1$ ~ $5$ の中から $n$ 個出る確率 $\displaystyle (\frac{5}{6})^n$ なのかな~と思いきや…

【反復試行の確率】サイコロの最大最小

つまり、青の部分の確率 $\displaystyle (\frac{2}{3})^n$ を引かなければいけない。

よって、求める確率は、$\displaystyle (\frac{5}{6})^n-(\frac{2}{3})^n$ である。

(2) 同様に考えると、

  • 事象 $A$ :$2$,$3$,$4$,$5$ から出る
  • 事象 $B$ :$3$,$4$,$5$ から出る
  • 事象 $C$ :$2$,$3$,$4$ から出る

としたとき、事象 $A$ の確率から事象 $B\cup C$ の確率を引けばいい。

ここで、$P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)$ なので、求める確率は、

\begin{align}P(A)-P(B\cup C)&=P(A)-\{P(B)+P(C)-P(B\cap C)\}\\&=(\frac{2}{3})^n-(\frac{1}{2})^n-(\frac{1}{2})^n+(\frac{1}{3})^n\\&=(\frac{2}{3})^n-(\frac{1}{2})^{n-1}+(\frac{1}{3})^n\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(解答終了)

ちなみに解答中の図は、その形から「ドーナツ図」と呼ばれます。

サイコロの最大最小の話は、ドーナツ図(ベン図?)で考えるようにしましょう。

確率の最大値

問題. サイコロを $50$ 回投げる。$6$ の目がちょうど $n$ 回出る確率が最大となる $n$ の値を求めよ。

さて、最後の難問。

難関大を志すのであれば、必ず押さえておきたい重要問題です!

【解答】

問題文で問われている確率を $P_n$ とおく。

ここで、一度解答の方針を予想すると…

$$P_1<P_2<…<P_N>P_{N+1}>…P_{50}$$

と、$1≦N≦50$ のある自然数 $N$ で最大値を取るはずである。

よって、$\displaystyle \frac{P_n}{P_{n+1}}$ がはじめて $1$ を超えるときを求めればOK!!

【反復試行の確率】確率の最大値

さて、方針が定まったところで、$P_n$ を求めていく。

$50$ 回投げて $6$ の目がちょうど $n$ 回出る反復試行の確率だから、

\begin{align}P_n&={}_{50}{C}_{n}(\frac{1}{6})^n(\frac{5}{6})^{50-n}\\&={}_{50}{C}_{n}\frac{1^n}{6^n}\frac{5^{50-n}}{6^{50-n}}\\&=\frac{50!}{n!(50-n)!}\frac{5^{50-n}}{6^{50}} ……①\end{align}

①の $n$ を $n+1$ に変えてあげれば、$$P_{n+1}=\frac{50!}{(n+1)!(49-n)!}\frac{5^{49-n}}{6^{50}} ……②$$

①、②より、

\begin{align}\frac{P_n}{P_{n+1}}&=\frac{50!}{n!(50-n)!}\frac{5^{50-n}}{6^{50}}×\frac{(n+1)!(49-n)!}{50!}\frac{6^{50}}{5^{49-n}}\\&=\frac{5(n+1)}{50-n}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

よって、$\displaystyle \frac{5(n+1)}{50-n}>1$ の不等式を解いてあげると、$$n>\frac{45}{6}=7.5$$

ということは、$n=8$ ではじめて $\displaystyle \frac{P_n}{P_{n+1}}>1$、つまり$P_n>P_{n+1}$ となるから、

$$P_1<P_2<…<P_8>P_9>…P_{50}$$

したがって、$n=8$ のとき最大となる。

(解答終了)

以上 $4$ 問お疲れさまでした~!

反復試行の確率に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

  • 反復試行の確率の公式は、「独立な試行を $n$ 回繰り返す」「 $n$ 回繰り返すという $1$ つの試行」の $2$ つの見方で導ける。
  • 難問 $4$ 選のポイントは、以下の通り。
    • 試合で優勝する確率…「最後に必ず勝つ!」
    • 点の移動の問題…「連立方程式」
    • サイコロの最大最小…「ドーナツ図」
    • 確率の最大値…「 $\displaystyle \frac{P_n}{P_{n+1}}$ 」

反復試行の確率は難しいうえに、入試でも頻出の単元です。

しっかり学習しておきましょう。

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上です~。

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