二項係数の公式3つをわかりやすく解説【2つの方法で証明します】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、${}_n{C}_{r}$、つまり組合せの総数のことを、別名「二項係数(にこうけいすう)」とも呼びます。(理由は後述。)

この二項係数 ${}_n{C}_{r}$ には知っておくと便利な公式が $3$ つ存在するのですが…

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二項係数の公式(組合せの性質・組合せの関係式とも言う)ってそもそも何?

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二項係数の公式の応用例って、たとえば何があるんですか?

こういった疑問を持つ方は多いと思います。

よって本記事では、二項係数の公式(組合せの性質)の証明 $2$ 通りから、それらの応用例 $2$ 選まで

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

二項係数の公式(組合せの性質)3つとは

二項係数の公式(組合せの性質)とは、以下の $3$ つを指します。

  1. ${}_n{C}_{r}={}_n{C}_{n-r}$
  2. ${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$
  3. $r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$

たとえば、$1$ 番の公式に $n=6$,$r=4$ を代入すると、

$${}_6{C}_{4}={}_6{C}_{2}$$

となります。

この関係式は、計算を楽にするためによ~く利用してきたのではないでしょうか。

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これらの公式を証明していけばいいんだね!でもどうやって証明すればいいんだろう…。

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大丈夫!とってもわかりやすく解説していくから、安心してください。次の章から詳しく見ていきますね。

二項係数の公式(組合せの性質)3つの証明【「組合せ論」は理解に役立ちます】

二項係数の公式(組合せの性質)の証明は意外と簡単で、

\begin{align}{}_n{C}_{r}&=\frac{{}_n{P}_{r}}{r!} …(※1)\\&=\frac{n!}{(n-r)!r!} …(※2)\end{align}

の定義式を使えばすぐに示せます。

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式変形により導く証明のことを「代数的(だいすうてき)な証明」と呼ぶことがあります。ちなみに、$(※1)$ の分母と分子に $(n-r)!$ をかけることで $(※2)$ の式になります。

代数的証明のメリット・デメリットを先にまとめておくと、

  • メリット  … とっても厳密。
  • デメリット … 意味は理解しづらい。

よって、まずは代数的な証明で成り立つことを確認したのちに、組合せの考え方を用いた「組合せ論的な証明」を解説していきます。

代数的証明

【①の証明】

\begin{align}{}_n{C}_{r}&=\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}\\&={}_n{C}_{n-r}\end{align}

【②の証明】

\begin{align}{}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}&=\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}+\frac{(n-1)!}{r!\{(n-1)-r\}!}\\&=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}\\&=\frac{r×(n-1)!}{r!(n-r)!}+\frac{(n-r)×(n-1)!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{r×(n-1)!+(n-r)×(n-1)!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{(n-1)!\{r+(n-r)\}}{r!(n-r)!}\\&=\frac{(n-1)!×n}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&={}_n{C}_{r}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

【③の証明】

\begin{align}r×{}_n{C}_{r}&=r×\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\\&=\frac{n×(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}\\&=\frac{n×(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}\\&=n×\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}\\&=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

いかがでしょう。

少し長くはなりましたが、$1$ つ $1$ つの式変形自体はとてもシンプルです。

ウチダのアイコン画像ウチダ

階乗の扱い方が難しく感じるかもしれませんが、そこは慣れなので、頑張って慣れて!(笑)

さて、二項係数の公式が成り立つことは確認できたので、ここからは公式の意味合いについて考察していきましょう。

組合せ論的な証明

【①の解釈】

たとえば、$5$ 人から $2$ 人を選ぶ組合せの総数 ${}_5{C}_{2}$ を考える。

このとき、

  • $5$ 人から $2$ 人を選ぶ
  • $5$ 人から $3$ 人を選ばない(残す)

この $2$ つは同じであることに気づく。

二項係数の公式1つめの証明

したがって、${}_5{C}_{2}={}_5{C}_{3}$ であり、つまり ${}_n{C}_{r}={}_n{C}_{n-r}$ である。

【②の解釈】

①と同様の状況で考える。( $5$ 人の名前を $A$ ~ $E$ さんとする。)

このとき、

  • ⅰ) 特定の $1$ 人( $A$ さん)を含む場合
  • ⅱ) 特定の $1$ 人( $A$ さん)を含まない場合

の $2$ 通りに分けて考えてみる。

ⅰ) $A$ さんを含む場合

$A$ さん以外の $4$ 人の中から $1$ 人取る組合せなので、${}_4{C}_{1}$ 通り。

二項係数の公式2つ目の証明その1

ⅱ) $A$ さんを含まない場合

$A$ さん以外の $4$ 人の中から $2$ 人取る組合せなので、${}_4{C}_{2}$ 通り。

二項係数の公式2つ目の証明その2

したがって和の法則より、${}_4{C}_{1}+{}_4{C}_{2}={}_5{C}_{2}$ であり、つまり ${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$ である。

【③の解釈】

$10$ 人のクラスから $3$ 人学級委員を選び、その中から $1$ 人学級委員長を決める組合せの総数を、

  • ⅰ)$3$ 人選んでから $1$ 人委員長を決める方法
  • ⅱ)委員長を決めてから残り $2$ 人の委員を決める方法

の $2$ 通りで考える。

ⅰ)学級委員→委員長の方法

まず $10$ 人の中から $3$ 人を選ぶので、${}_{10}{C}_{3}$ 通り。

次に、その $3$ 人の中から $1$ 人を選ぶので、${}_3{C}_{1}=3$ 通り。

よって積の法則より、$3×{}_{10}{C}_{3}$ 通り。

二項係数の公式3つ目の証明その1

ⅱ)委員長→学級委員の方法

まず、学級委員長を $1$ 人決めるので、${}_{10}{C}_{1}=10$ 通り。

次に、残り $9$ 人の中から $2$ 人の学級委員を決めるので、${}_9{C}_{2}$ 通り。

よって積の法則より、$10×{}_9{C}_{2}$ 通り。

二項係数の公式3つ目の証明その2

したがって「ⅰ)$=$ ⅱ)」より、$3×{}_{10}{C}_{3}=10×{}_9{C}_{2}$ であり、つまり $r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$ である。

(解釈終了)

$n$ やら $r$ やら、抽象的な数だとわかりづらいかなと思い、具体的な数字で考察しました。

こうして見ると、②や③の解釈が結構面白いですよね~。

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数学の良いところの $1$ つとして「複数の解法の存在性」がよく挙げられますが、まさしく②や③のことではないでしょうか。そこから二項係数の公式ができてしまうのですから驚きですね!

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二項係数の公式(組合せの性質)の応用例2選

冒頭に触れた通り、二項係数の公式①の応用例は以下の通りです。

問題. 次の値を求めよ。
(1) ${}_{10}{C}_{8}$
(2) ${}_{100}{C}_{98}$

このように $r$ が大きい二項係数の値を求める際、

  • (1)…$\displaystyle {}_{10}{C}_{8}={}_{10}{C}_{2}=\frac{10・9}{2・1}=45$
  • (2)…$\displaystyle {}_{100}{C}_{98}={}_{100}{C}_{2}=\frac{100・99}{2・1}=4950$ 

とできるため、計算が圧倒的にラクになります。

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①の公式は私もよく使う!でも②,③って一体いつ使うの?

ということで、最後に二項係数の公式②,③の応用例をお話して終わりにしたいと思います。

【二項定理】パスカルの三角形(数学Ⅱ)

数学Ⅱの最初の方で「二項定理(にこうていり)」を習います。

【二項定理】
$n$ を自然数とする。このとき、

\begin{align}(a+b)^n={}_n{C}_{0}a^n+{}_n{C}_{1}a^{n-1}b+{}_n{C}_{2}a^{n-2}b^2+…+{}_n{C}_{r}a^{n-r}b^r+…+{}_n{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{C}_{n}b^n\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。

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なるほど!二項定理の中に ${}_n{C}_{r}$ が出てくるから「二項係数」とも呼ばれるんだね!

冒頭で抱いた疑問が一つ解消しましたね♪

また、二項定理を勉強するときに出てくるのが「パスカルの三角形」です。

二項係数とパスカルの三角形の関係性

なんと、パスカルの三角形の中に出てくる関係式。

これが、二項係数の公式②

$${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$$

だったんですね~。

ウチダのアイコン画像ウチダ

パスカルの三角形は面白い性質をたくさん含んでいます。詳しくは「パスカルの三角形と二項定理~(後日書きます。)」の記事をご覧ください。

フェルマーの小定理(数学A)

数学A「整数の性質」のコラム的な内容として、“フェルマーの小定理”があります。

(フェルマーの小定理)【第1形式】
$p$ を素数とし、$a$ を $p$ の倍数ではない自然数( $a$ と $p$ は互いに素)とするとき、
$$a^{p-1}≡1 \pmod{p}$$
つまり、$a^{p-1}$ を $p$ で割った余りは $1$ である。
(フェルマーの小定理)【第2形式】
$p$ を素数とし、$a$ を $p$ の倍数ではない自然数( $a$ と $p$ は互いに素)とするとき、
$$a^p≡a \pmod{p}$$
つまり、$a^p$ を $p$ で割った余りは $a$ である。

このフェルマーの小定理を証明するために、二項係数の公式③

$$r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$$

を利用するのです。

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フェルマーの小定理は、現代のネット社会を支えていると言っても過言ではない「RSA暗号」の土台の定理で、非常に役に立っているのですが…まあ難しいですね(笑)。続きは「フェルマーの小定理の2通りの証明とは?【京大入試を含む問題3選も解説】」の記事をご覧ください。

二項係数の公式(組合せの性質)に関するまとめ

二項係数の公式(組合せの性質)とその応用例を改めてまとめておきます。

  • ${}_n{C}_{r}={}_n{C}_{n-r}$
    • (応用例)日常の計算の中でメチャクチャ使うよ!
  • ${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$
    • (応用例)パスカルの三角形
  • $r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$

数学に関する雑学をいっぱい増やして、数学マスターになっちゃおう!

「場合の数」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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終わりです~。

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