二項係数の公式３つをわかりやすく解説【２つの方法で証明します】

2019年4月27日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、${}_n{C}_{r}$、つまり組合せの総数のことを、別名「二項係数(にこうけいすう)」とも呼びます。（理由は後述。）

この二項係数 ${}_n{C}_{r}$ には知っておくと便利な公式が $3$ つ存在するのですが…

数学太郎

二項係数の公式（組合せの性質・組合せの関係式とも言う）ってそもそも何？

数学花子

二項係数の公式の応用例って、たとえば何があるんですか？

こういった疑問を持つ方は多いと思います。

よって本記事では、二項係数の公式（組合せの性質）の証明 $2$ 通りから、それらの応用例 $2$ 選まで

東北大学理学部数学科卒業
実用数学技能検定１級保持
高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

二項係数の公式（組合せの性質）３つとは

二項係数の公式（組合せの性質）とは、以下の $3$ つを指します。

${}_n{C}_{r}={}_n{C}_{n-r}$
${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$
$r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$

たとえば、$1$ 番の公式に $n=6$，$r=4$ を代入すると、

$${}_6{C}_{4}={}_6{C}_{2}$$

となります。

この関係式は、計算を楽にするためによ～く利用してきたのではないでしょうか。

数学太郎

これらの公式を証明していけばいいんだね！でもどうやって証明すればいいんだろう…。

ウチダ

大丈夫！とってもわかりやすく解説していくから、安心してください。次の章から詳しく見ていきますね。

二項係数の公式（組合せの性質）３つの証明【「組合せ論」は理解に役立ちます】

二項係数の公式（組合せの性質）の証明は意外と簡単で、

\begin{align}{}_n{C}_{r}&=\frac{{}_n{P}_{r}}{r!}　…(※1)\\&=\frac{n!}{(n-r)!r!}　…(※2)\end{align}

の定義式を使えばすぐに示せます。

ウチダ

式変形により導く証明のことを「代数的（だいすうてき）な証明」と呼ぶことがあります。ちなみに、$(※1)$ の分母と分子に $(n-r)!$ をかけることで $(※2)$ の式になります。

代数的証明のメリット・デメリットを先にまとめておくと、

メリット　　…　とっても厳密。
デメリット　…　意味は理解しづらい。

よって、まずは代数的な証明で成り立つことを確認したのちに、組合せの考え方を用いた「組合せ論的な証明」を解説していきます。

代数的証明

【①の証明】

\begin{align}{}_n{C}_{r}&=\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}\\&={}_n{C}_{n-r}\end{align}

【②の証明】

\begin{align}{}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}&=\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}+\frac{(n-1)!}{r!\{(n-1)-r\}!}\\&=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}\\&=\frac{r×(n-1)!}{r!(n-r)!}+\frac{(n-r)×(n-1)!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{r×(n-1)!+(n-r)×(n-1)!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{(n-1)!\{r+(n-r)\}}{r!(n-r)!}\\&=\frac{(n-1)!×n}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&={}_n{C}_{r}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

【③の証明】

\begin{align}r×{}_n{C}_{r}&=r×\frac{n!}{r!(n-r)!}\\&=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\\&=\frac{n×(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}\\&=\frac{n×(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}\\&=n×\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}\\&=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}\end{align}

※この数式は少しだけ横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

(証明終了)

いかがでしょう。

少し長くはなりましたが、$1$ つ $1$ つの式変形自体はとてもシンプルです。

ウチダ

階乗の扱い方が難しく感じるかもしれませんが、そこは慣れなので、頑張って慣れて！(笑)

さて、二項係数の公式が成り立つことは確認できたので、ここからは公式の意味合いについて考察していきましょう。

組合せ論的な証明

【①の解釈】

たとえば、$5$ 人から $2$ 人を選ぶ組合せの総数 ${}_5{C}_{2}$ を考える。

このとき、

$5$ 人から $2$ 人を選ぶ
$5$ 人から $3$ 人を選ばない(残す)

この $2$ つは同じであることに気づく。

したがって、${}_5{C}_{2}={}_5{C}_{3}$ であり、つまり ${}_n{C}_{r}={}_n{C}_{n-r}$ である。

【②の解釈】

①と同様の状況で考える。（ $5$ 人の名前を $A$ ～ $E$ さんとする。）

このとき、

ⅰ）　特定の $1$ 人（ $A$ さん）を含む場合
ⅱ）　特定の $1$ 人（ $A$ さん）を含まない場合

の $2$ 通りに分けて考えてみる。

ⅰ)　$A$ さんを含む場合

$A$ さん以外の $4$ 人の中から $1$ 人取る組合せなので、${}_4{C}_{1}$ 通り。

ⅱ)　$A$ さんを含まない場合

$A$ さん以外の $4$ 人の中から $2$ 人取る組合せなので、${}_4{C}_{2}$ 通り。

したがって和の法則より、${}_4{C}_{1}+{}_4{C}_{2}={}_5{C}_{2}$ であり、つまり ${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$ である。

【③の解釈】

$10$ 人のクラスから $3$ 人学級委員を選び、その中から $1$ 人学級委員長を決める組合せの総数を、

ⅰ）$3$ 人選んでから $1$ 人委員長を決める方法
ⅱ）委員長を決めてから残り $2$ 人の委員を決める方法

の $2$ 通りで考える。

ⅰ）学級委員→委員長の方法

まず $10$ 人の中から $3$ 人を選ぶので、${}_{10}{C}_{3}$ 通り。

次に、その $3$ 人の中から $1$ 人を選ぶので、${}_3{C}_{1}=3$ 通り。

よって積の法則より、$3×{}_{10}{C}_{3}$ 通り。

ⅱ）委員長→学級委員の方法

まず、学級委員長を $1$ 人決めるので、${}_{10}{C}_{1}=10$ 通り。

次に、残り $9$ 人の中から $2$ 人の学級委員を決めるので、${}_9{C}_{2}$ 通り。

よって積の法則より、$10×{}_9{C}_{2}$ 通り。

したがって「ⅰ）$=$ ⅱ）」より、$3×{}_{10}{C}_{3}=10×{}_9{C}_{2}$ であり、つまり $r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$ である。

(解釈終了)

$n$ やら $r$ やら、抽象的な数だとわかりづらいかなと思い、具体的な数字で考察しました。

こうして見ると、②や③の解釈が結構面白いですよね～。

ウチダ

数学の良いところの $1$ つとして「複数の解法の存在性」がよく挙げられますが、まさしく②や③のことではないでしょうか。そこから二項係数の公式ができてしまうのですから驚きですね！

二項係数の公式（組合せの性質）の応用例２選

冒頭に触れた通り、二項係数の公式①の応用例は以下の通りです。

問題.　次の値を求めよ。
(1)　${}_{10}{C}_{8}$
(2)　${}_{100}{C}_{98}$

このように $r$ が大きい二項係数の値を求める際、

(1)…$\displaystyle {}_{10}{C}_{8}={}_{10}{C}_{2}=\frac{10・9}{2・1}=45$
(2)…$\displaystyle {}_{100}{C}_{98}={}_{100}{C}_{2}=\frac{100・99}{2・1}=4950$

とできるため、計算が圧倒的にラクになります。

数学花子

①の公式は私もよく使う！でも②，③って一体いつ使うの？

ということで、最後に二項係数の公式②，③の応用例をお話して終わりにしたいと思います。

【二項定理】パスカルの三角形（数学Ⅱ）

数学Ⅱの最初の方で「二項定理(にこうていり)」を習います。

【二項定理】
$n$ を自然数とする。このとき、

\begin{align}(a+b)^n={}_n{C}_{0}a^n+{}_n{C}_{1}a^{n-1}b+{}_n{C}_{2}a^{n-2}b^2+…+{}_n{C}_{r}a^{n-r}b^r+…+{}_n{C}_{n-1}ab^{n-1}+{}_n{C}_{n}b^n\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。

ウチダ

なるほど！二項定理の中に ${}_n{C}_{r}$ が出てくるから「二項係数」とも呼ばれるんだね！

冒頭で抱いた疑問が一つ解消しましたね♪

また、二項定理を勉強するときに出てくるのが「パスカルの三角形」です。

なんと、パスカルの三角形の中に出てくる関係式。

これが、二項係数の公式②

$${}_n{C}_{r}={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_{r}$$

だったんですね～。

ウチダ

パスカルの三角形は面白い性質をたくさん含んでいます。詳しくは以下の記事をご覧ください。

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フェルマーの小定理（数学Ａ）

数学Ａ「整数の性質」のコラム的な内容として、“フェルマーの小定理”があります。

(フェルマーの小定理)【第1形式】
$p$ を素数とし、$a$ を $p$ の倍数ではない自然数( $a$ と $p$ は互いに素)とするとき、
$$a^{p-1}≡1 \pmod{p}$$
つまり、$a^{p-1}$ を $p$ で割った余りは $1$ である。

(フェルマーの小定理)【第2形式】
$p$ を素数とし、$a$ を $p$ の倍数ではない自然数( $a$ と $p$ は互いに素)とするとき、
$$a^p≡a \pmod{p}$$
つまり、$a^p$ を $p$ で割った余りは $a$ である。

このフェルマーの小定理を証明するために、二項係数の公式③

$$r×{}_n{C}_{r}=n×{}_{n-1}{C}_{r-1}$$

を利用するのです。

ウチダ

フェルマーの小定理は、現代のネット社会を支えていると言っても過言ではない「ＲＳＡ暗号」の土台の定理で、非常に役に立っています。

続きは以下の記事をどうぞ

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