真数条件・底の条件はなぜ必要なのか？応用問題6選を元高校数学教師が解説

2021年11月8日2022年2月21日

こんにちは、遊ぶ数学のウチダです。

対数方程式や対数不等式の問題を解いていると、よく真数条件という言葉が登場します。

例題．対数不等式 $\log_2{x}≦3$ を解け。

【解答】

$3=\log_2{2^3}=\log_2{8}$ より、$\log_2{x}≦\log_2{8}$

底 $2>1$ より、$x≦8$

ここで真数条件 $x>0$ より、解は $0<x≦8$

(解答終了)

真数条件を考えず、単に $x≦8$ としてしまっては不正解になってしまいます。

数学太郎

この真数条件ってホントよく出てきますけど、正直全然ピンときてないんですよね…。

数学花子

真数条件を使うときをもっと知りたいです。

ということで本記事では、

真数条件とは何か
なぜ真数条件は必要なのか
真数条件を使うときはどんなときか

以上について、元高校数学教員がわかりやすく解説していきます。

真数条件と底の条件って何？

「真数条件」という言葉だけがひとり歩きしていますが、実はもう一つ重要な「底の条件」というものがあります。

まずはこの真数条件と底の条件について、まとめておきましょう。

真数条件と底の条件

対数関数 $y=\log_a{x}$ において、

底の条件：$a>0$ かつ $a \neq 1$
真数条件：$x>0$

真数条件を理解するには、まず底の条件を深く理解する必要があります。

ウチダ

ここから一旦は底の条件の解説に入りますが、最終的に「なぜ真数条件が $x>0$ となるのか」がわかるようになっていますので、ご安心ください。

底aが負でない理由：実関数として考えられなくなる

まずは底 $a<0$ ではダメな理由を考えていきます。

具体的に考えるとわかりやすいので、ためしに $a=-2$ とします。

対数関数 $y=\log_{-2}{x}$ を指数関数で表すと、$(-2)^y=x$ となりますね。

ここでためしに $\displaystyle y=\frac{1}{2}$ を入れてみましょう。

\begin{align}x=(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}\end{align}

すると、ルートの中にマイナスが出てきてしまうので、これは実数ではなくなってしまいます。

ウチダ

虚数を学習すると $\sqrt{-1}=i$ でしたから、$x=-2i$ と一応は表記できます。しかし座標平面上に $\displaystyle (-2i , \frac{1}{2})$ なんていう点は存在するでしょうか？

$x$ 軸、$y$ 軸ともに実数の世界で座標平面を考えているため、$x$ が虚数、$y$ が実数となってしまう関数のグラフを書くことはできません。

よって高校範囲では、対数関数 $y=\log_a{x}$ は $a<0$ で考えることはできないのです。

ウチダ

ちなみに同様の理由で、指数関数においても $a<0$ は考えません。

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指数関数を正しく理解して、指数関数のグラフを書いてみよう

底aが0,1でない理由：関数でなくなる

底 $a$ が $0$ , $1$ だと、$y=\log_a{x}$ は関数じゃなくなってしまいます。

これを順に解説していきますね。

底a=0の場合

まず $a=0$ とすると、$y=\log_0{x}$ となり、これは「 $0$ を $y$ 乗したら $x$ になる」という意味でしたね。

ただし $0$ を何乗しても $0$ なので、$x=0$ と固定されてしまいます。

また、$y=-1$ とすると、$\displaystyle 0^y=0^{-1}=\frac{1}{0}$ となり、$0$ で割ってはいけないルールに反するため、$y>0$ です。

0で割ることができない理由を小学校で習う定義から解説！【答えはエラー？】

よって $y=\log_0{x}$ のグラフは以下のようになります。

$x$ の値を一つ定めたとき、$y$ の値がただ一つに定まる式を、$x$ の”関数”と呼んでいたので、これは関数とは言えませんね。

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関数f(x)とは何か？【わかりやすく具体例３選を通して解説します】

ウチダ

ちなみに補足すると、$0^0$( 0の0乗)は $0$ と考えることも $1$ と考えることもできます。

0の0乗について解説すると本題からそれてしまうため、気になる方は以下の記事をご覧ください。

0の0乗とは～（準備中）

底a=1の場合

$a=1$ とすると、$y=\log_1{x}$ となり、これは「 $1$ を $y$ 乗したら $x$ になる」という意味でした。

ただし $1$ を何乗しても $1$ なので、$x=1$ と固定されてしまいます。

今回は $a=0$ のときのように「 $y$ がマイナスになると $0$ で割るルールに反する」みたいなことがないため、$y$ は実数全体を取ります。

よって $y=\log_1{x}$ のグラフは以下のようになります。

数学太郎

これも $x$ の関数とは言えないですね…。だから底は $1$ じゃダメなんですね。

ウチダ

よく理解してきたね＾＾以上が底の条件の説明だよ。でもここまで理解できれば、真数条件もわかったも同然なんだ。

真数が0より大きい理由：グラフを書けば明らか

以上を踏まえ、対数関数 $y=\log_a{x}$ の底 $a$ が

$0<a<1$
$1<a$

以上 $2$ パターンに分けて、グラフを書いてみます。

対数関数のグラフはかなり特徴的な形をしているため、苦手意識を持つ学生の方は多いです。2 — 0<a<1のグラフ

対数関数のグラフはかなり特徴的な形をしているため、苦手意識を持つ学生の方は多いです。1 — 1<aのグラフ

どうでしょう。真数条件 $x>0$ は理解できましたか？

数学花子

…あ！2つのパターンどちらとも、$x≦0$ にグラフは存在していないです。

ウチダ

そう。グラフを見たら、$a$ が何であっても $x>0$ であることがすぐにわかるよね。これが真数条件の正体なんだ。

つまり、今までの話をまとめると…

STEP

底 a の条件を考える

STEP

0<a<1 , 1<a でグラフを書いてみる

STEP

真数条件 x>0 がわかる

この手順で真数条件 $x>0$ が理解できるのです。

ウチダ

対数関数のグラフの書き方については、以下の記事で詳しく解説しています。

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対数関数のグラフの書き方3STEPをマスターしよう【応用問題5選あり】

真数条件・底の条件を使うときとは？応用問題6選で知識を定着

真数条件と底の条件について理解を深めたところで、今度は実際に使ってみましょう。

真数条件・底の条件を使うときを一言でまとめると、「真数(底)に変数が登場したとき」です。

数学太郎

真数条件も底の条件も使うときは一緒なんですね。じゃあ、なんで真数条件ばっかり出てくるのでしょうか？

ウチダ

それは真数に変数が含まれることが圧倒的に多いからだよ。たとえば $\log_x{2}$ と $\log_2{x}$、どっちをよく見る？

問題としてよく見るのは、圧倒的に後者の $\log_2{x}$ ですよね。

真数条件の方が見る機会が多いのは事実ですが、どちらとも使う場面は同じなので、この $2$ つは常にセットで覚えておくようにしましょう。

それでは真数条件・底の条件の応用問題を、計6問解いていきます。

真数条件・底の条件の応用問題6選

対数方程式3問
対数不等式2問
対数関数の最大最小1問

目指せ、全問正解！

対数方程式3問

問題１．次の対数方程式を解け。
(1)　$\log_x{4}=-2$
(2)　$\log_2{(x+2)}+\log_2{(x-1)}=2$
(3)　$\log_3{x}-3\log_x{3}=2$

まずは対数を式に含む方程式、つまり対数方程式の問題です。

真数条件と底の条件を先に考えた上で、方程式を解くようにしましょう。

問題１の解答例

(1)　底の条件より、$x>0$ , $x \neq 1$

$\log_x{4}=-2$ より、$x^{-2}=4$ つまり $\displaystyle x^2=\frac{1}{4}$

これを解くと $\displaystyle x=\pm \frac{1}{2}$ 。

しかし底の条件 $x>0$ , $x \neq 1$ より、求める解は $\displaystyle x=\frac{1}{2}$

(2)　真数条件より、$x+2>0$ かつ $x-1>0$、つまり $x>1$

対数の公式を用いて式変形すると、$\log_2{(x+2)(x-1)}=\log_2{4}$

底 $2$ が共通しているので、$(x+2)(x-1)=4$

$x^2+x-6=0$

$(x+3)(x-2)=0$

よって $x=-3$ , $2$ であるが、真数条件 $x>1$ より、求める解は $x=2$

(3)　真数条件および底の条件より、$x>0$ , $x \neq 1$

底の変換公式を使って式変形すると、$\displaystyle \log_3{x}-3\frac{\log_3{3}}{\log_3{x}}=2$

両辺に $\log_3{x}$ をかけて式を整理すると、$(\log_3{x})^2-2\log_3{x}-3=0$

ここで、$\log_3{x}=t$ と置く( $x \neq 1$ より $t \neq 0$ )と、

$t^2-2t-3=0$

$(t+1)(t-3)=0$ より $t=-1$ , $3$

$t=-1$ のとき、$\log_3{x}=-1$ より、$\displaystyle x=\frac{1}{3}$

$t=3$ のとき、$\log_3{x}=3$ より、$x=27$

これらは $x>0$ , $x\neq 1$ を満たす。

よって求める解は、$\displaystyle x=\frac{1}{3}$ , $27$

(解答終了)

(1)や(2)では、真数条件や底の条件を使うことで、正しい解に絞ることができましたね。

一方で(3)では、真数条件や底の条件を使っても、解はそのまま変わりませんでした。

ウチダ

ですが(3)のような場合であっても、「出てきた解が本当に条件を満たすか判断する」ために真数条件・底の条件を使うのは必須です。

特に記述の問題で真数条件・底の条件を書き忘れると、「あ、この子は条件を満たすことを確認していないな」と認識され減点されてしまいますので、必ず確認するようにしましょう。

解答中に出てきた「対数の公式」と「底の変換公式」に関する詳しい解説は、以下の記事をご覧ください。

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研究：(2)について深く考えてみよう。

問題１(2)`．対数方程式 $\log_2{(x+2)(x-1)}=2$ を解くとどうなるか、考えてみよう。

(2)の解答二行目において、

\begin{align}\log_2{(x+2)}+\log_2{(x-1)}=\log_2{(x+2)(x-1)}\end{align}

※スマホの方は数式を横にスクロールできます。

という式変形を用いました。

では、もし最初からこの式変形がされていたら、解はどうなるでしょうか。

数学花子

最初に式変形されていようが、後から式変形しようが、解は変わらなくないですか？

ウチダ

それは解いてからのお楽しみ。皆さんもぜひチャレンジしてみてください。

問題１(2)`の解答例

数学花子

そっか！真数条件が変わるから、求める解も変わるんですね！

ウチダ

よく気づきましたね＾＾式変形する過程は同じなのに、真数条件が違うことで求める解が変わるなんて、数学は奥深いですね！

「二次不等式の解き方がわからなかった」という方は、ぜひ以下の記事をあわせてご覧ください。

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対数不等式2問

問題２．次の対数不等式を解け。
(1)　$\log_{\frac{1}{3}}{x}>4$
(2)　$\log_2{(7x-x^2)}<\log_2{(x^2-4)}$

次は対数を含む不等式、つまり対数不等式を解く問題です。

冒頭で解いた $\log_2{x}≦3$ と同様に、真数条件や底の条件だけでなく、底が $1$ より大きいか小さいかにも注意して解いていきましょう。

問題２の解答例

(1)　真数条件より、$x>0$

底を $\displaystyle \frac{1}{3}$ にそろえると、$\log_{\frac{1}{3}}{x}>\log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^4}$

$\log_{\frac{1}{3}}{x}>\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{81}}$

底 $\displaystyle \frac{1}{3}<1$ より、$\displaystyle x<\frac{1}{81}$

したがって真数条件との共通範囲を求めて、$\displaystyle 0<x<\frac{1}{81}$

(2)　真数条件より、$7x-x^2>0$ かつ $x^2-4>0$

それぞれ解いて、$0<x<7$ かつ $x<-2$ , $2<x$

よって真数条件は、$2<x<7　…①$

底 $2>1$ より、

\begin{align}\log_2{(7x-x^2)}<\log_2{(x^2-4)} \iff 7x-x^2<x^2-4\end{align}

$(2x+1)(x-4)>0$

よって、$\displaystyle x<-\frac{1}{2} \ , \ 4<x$

①との共通範囲を求めて、$4<x<7$

(解答終了)

指数不等式と同様に、底が $1$ より大きいか小さいかで対数と真数の大小関係は異なります。

対数と真数の大小関係

底が $1$ より大きい：真数の大小関係と対数の大小関係は一致する

底が $1$ より小さい：真数の大小関係と対数の大小関係は逆になる

指数不等式も気になる方は、以下の記事をあわせてご覧ください。

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対数関数の最大最小1問

問題３．対数関数 $y=\log_2{(x+2)}+\log_2{(3-x)}$ の最大値を求めよ。

最後は、対数関数の最大最小の応用問題です。

この問題も今までと同じように、真数条件を忘れずに使って解いていきましょう。

問題３の解答例

真数条件より、$x+2>0$ かつ $3-x>0$ つまり $-2<x<3$

\begin{align}y&=\log_2{(x+2)}+\log_2{(3-x)}=\log_2{(x+2)(3-x)}\\&=\log_2{(-x^2+x+6)}=\log_2{\{-(x^2-x)+6\}}\\&=\log_2{\{-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}+6\}}=\log_2{\{-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}\}}\end{align}

よってグラフを書くと以下のようになる。

よって、$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\displaystyle y=\log_2{\frac{25}{4}}=2\log_2{5}-2$

(解答終了)

以上のように、対数関数の最大最小を求めるために、平方完成を行うことがあります。

平方完成は必ずできるように、計算練習をたくさん積んでおきましょう。

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まとめ：真数条件・底の条件を忘れずに使い、応用問題をマスターしよう

真数条件と底の条件はマスターできましたか？

以上、本記事のポイントをまとめます。

真数条件・底の条件のポイントまとめ

$y=\log_a{x}$ には、$a>0$ , $a \neq 1$ , $x>0$ という条件が付いている。これらをそれぞれ真数条件、底の条件と言う。
底 $a$ についての条件を考え、$0<a<1$ , $1<a$ でグラフを書いてみると、自ずと真数条件がわかる。
対数方程式、対数不等式、対数関数の最大最小を解けるようになろう。

真数条件・底の条件をマスターしたら、いよいよ対数の最後の関門である「常用対数」について学びましょう。

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