4次関数の最大最小を「平方完成」を応用して解いてみよう【複2次式とは？】

2019年3月19日2022年2月21日

こんにちは、ウチダです。

本記事では、「平方完成」を $4$ 次式に応用させて $4$ 次関数の最大最小を求める問題を数学Ⅰの知識のみで解いていきたいと思います。

平方完成の公式や基本的なコツ、やり方を詳しく知りたい方は、以下の記事も参考にしてください。

4次式には応用できて3次式には応用できない理由とは

これは厳密にいえば応用できないわけではないのですが、 平方完成を行う意味を考えれば応用したところで得られるものはほとんどないことがわかると思います。

【平方完成を行う意味】
$(実数)^2$ を作ることで、$(実数)^2≧0$ となるため、下に凸な関数の最小(上に凸な関数の最大)を求めることができる！

つまり「 $2$ 乗」を作りたい→「平方完成」だということです。

となると、$3$ 乗を作っても、そこまで有用性がないから $3$ 次式には応用しても意味がない、ということになります。

ウチダ

たとえば $(-1)^3=-1$ のように、マイナスを $3$ 乗してもマイナスですから、距離を表すことも難しそうですね。

ですが、$4$ 次式であれば話は違います。

なぜなら、

$2^4=4^2=16$
$3^4=9^2=81$

のように、途中で $2$ 乗が作り出せるからです。

これが $4$ 次式に平方完成が応用できる理由です。

では、次から具体的に $4$ 次式の平方完成を見ていきます。

①複2次式の平方完成

例題１．$x^4+2x^2+2$ を平方完成せよ。

このような、奇数次( $1$ 次と $3$ 次)の項がない $4$ 次式のことを、「複2次式」と呼びます。

さて、この複 $2$ 次式の平方完成はとてもシンプルです。

解答に移りますので、ぜひ一度考えてみてください。

例題１の解答例

いかがでしたか？

$4$ 次式でも問題なく「 $( )^2$ 」の形を作ることができましたね！

ウチダ

では次は、もう少し難しい例を見てみましょう。

②因数分解表示されている4次式の平方完成

例題２．$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を平方完成せよ。

この式も、展開すると $x^4$ の項が出てくるので、$4$ 次式となります。

さて、複 $2$ 次式の平方完成よりは難しいですが、基本は一緒です。

つまり、何かを $=t$ と置くことで、$t$ の $2$ 次式を作れれば勝ちです。

ウチダ

ではそれをどうやるか…ぜひ考えてみてから解答をご覧ください♪

例題２の解答例

$x^2+5x=t$ と置くことで上手くいく！

以下のように、掛け算の順番を工夫することで、$x^2+5x$ を作り出すことができる。

\begin{align}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)&=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)\\&=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

よって、$x^2+5x=t$ と置いて平方完成すると、

\begin{align}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)&=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\\&=(t+4)(t+6)\\&=t^2+10t+24\\&=(t+5)^2-1\\&=(x^2+5x+5)^2-1\end{align}

(解答終了)

さてこの問題。もし因数分解表示されていなかったら、どうやって解けばいいのでしょうか？

例題２’．$x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ を平方完成せよ。

これを解く方法は

「因数定理」を用いて、問題２の形に因数分解したら後は同じ
「恒等式の係数比較」の方法で一気に解く

以上 $2$ つが考えられます。

ウチダ

これらはどちらとも「数学Ⅱ」で習うものです。それぞれ別記事で解説してますので、もしよかったら参考にしてみてください。

4次関数の最大最小を求めてみよう

では、$4$ 次式の平方完成をマスターしたところで、$4$ 次関数の最大最小を求めてみましょう＾＾

問題１．$y=x^4+2x^2+2$ の最小値を求めなさい。

この関数の右辺に対しての平方完成は、先程行ったので、その結果は利用してOKです！

注意しなくてはいけないポイントが一つありますので、それが何か考えながら解答をご覧ください。

問題１の解答例

数学太郎

うわ～！ひっかかって $t=-1$ のとき最小値 $1$ ってやっちゃったよ～。汗

ウチダ

あるあるですね～。これからは、自分で文字を置いたときは、「その文字に何か条件が付いていないか」は必ず確認するようにしましょう！

では、もう一つの方も解いていきましょう！

問題２．$y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ の最小値を求めなさい。

問題１と同様、$t$ の範囲に気をつけて問題を解いてくださいね＾＾

問題２の解答例

例題２の結果を用いると、$x^2+5x=t$ と置いて、

\begin{align}y&=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\&=(t+5)^2-1\end{align}

ここで、$t$ の範囲を調べるために、今度は $t$ を平方完成をする！

\begin{align}t&=x^2+5x\\&=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}\end{align}

よって、$\displaystyle t≧-\frac{25}{4}$ だとわかる。

※ $(x+\frac{5}{2})^2≧0$ より

すると、$\displaystyle -5=-\frac{20}{4}≧=\frac{25}{4}$ なので、$t=-5$ は今回はありえる。

よって、$t=-5$ のとき、$y$ の最小値は $-1$ である。

【補足】
$y$ が最小のときの $x$ の値まで出す必要があるときは、$t=-5$ を代入して、
$x^2+5x=-5$ ←この二次方程式を解けばOK。
解の公式より、$\displaystyle x=\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$
したがって答えは、$\displaystyle x=\frac{-5±\sqrt{5}}{2}$ のとき、$y$ の最小値 $-1$ である。

(解答終了)

いかがでしたか？

平方完成が $2$ 回出てきてややこしいですが、「今は何と何の関数を考えているのか」、今回の場合は