じゃんけんの確率(数学)の問題5選をわかりやすく解説します

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、確率の分野で意外と難しいのが「じゃんけんの確率」を求める問題です。

数学太郎のアイコン画像数学太郎
(問題を解いてみて)$2$ 人のじゃんけんの確率ですら難しかったよ。
数学花子のアイコン画像数学花子
$2$ 人ですら難しいのに、$3$ 人,$4$ 人,$5$ 人,…と人数が増えていくと訳がわからなくなるわ。

本当にその通りだと思います。

じゃんけんの確率は、一見簡単そうなのに複雑なんですよね。。

よって本記事では、必ず押さえたいじゃんけんの確率の基本から、$2$ 人,$3$ 人,…,$n$ 人でのじゃんけんの確率の問題 $5$ 選まで

  • 東北大学理学部数学科卒
  • 教員採用試験に1発合格 → 高校教諭経験アリ
  • (専門は確率論でした。)

の僕がわかりやすく解説します。

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目次

じゃんけんの確率の基本とは?【「誰が」「何の手で」勝つかを考えよう】

じゃんけんの確率における最も重要なポイント。

それは…

「誰が」「何の手で」勝つか

これです。

ウチダのアイコン画像ウチダ
ここで説明するより、実際に問題を通して見た方がわかりやすいかと思いますので、早速「 $2$ 人でのじゃんけんの確率」の問題にチャレンジしていきましょうか!

例題「2人でのじゃんけんの確率」

問題. $2$ 人がじゃんけんを $1$ 回だけ行う。このとき、次の確率を求めなさい。
(1) 勝負がつく確率
(2) あいこになる確率

場合の数が少ないので、数え上げでも十分に対応できます。

ただ、今後の問題のことを考え、一般化できるような方法で解いていきましょう♪

【解答】

(1) まず、$1$ 人につき「グー,チョキ,パー」の $3$ 通りあるから、手の出し方は全部で $3^2=9$ 通りである。

ここでは、基本に沿って

  • ⅰ)…誰が勝つか
  • ⅱ)…何の手で勝つか

以上 $2$ つに分けて、勝負がつく場合の数を求めてみよう。

ⅰ)…誰が勝つかの場合の数は、$2$ 人しかいないため、$2$ 通り。

ⅱ)…何の手で勝つかの場合の数は「グー,チョキ,パー」の $3$ 通り。

よってⅰ)ⅱ)より、求める確率は $\displaystyle \frac{2×3}{3^2}=\frac{2}{3}$ である。

(2) 「あいこになる」という事象は「勝負がつく」という事象の余事象である。

よって余事象の確率より、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ である。

(解答終了)

今は回りくどく感じられるかもしれません。

ただ、この解答で見たように

  1. 「誰が」「何の手で」勝つか
  2. あいこは「勝負がつく」の余事象

以上 $2$ 点を押さえて、応用問題にチャレンジしていきましょう。

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じゃんけんの確率の問題4選

それでは、いよいよ $3$ 人以上でのじゃんけんの確率を求めていきます。

  • $4$ 人でのじゃんけんの確率( $1$ 回)
  • $3$ 人でのじゃんけんの確率( $2$ 回)
  • $5$ 人でのじゃんけんの確率( $1$ 回)
  • $n$ 人でのじゃんけんの確率

と、人数やじゃんけんの回数が増えるにつれ、「先ほどまとめた基本がいかに大切であるか」がわかってきます。

4人でのじゃんけんの確率(1回)

問題. $4$ 人でじゃんけんを $1$ 回だけ行う。このとき、あいこになる確率を求めなさい。

さて、$2$ 人でのじゃんけんと $3$ 人以上でのじゃんけん。

これらには、大きな違いが一つあります。

↓↓↓

それは、あいことなる場合が

  • 全員同じ手
  • 計 $3$ 種類の手

の $2$ つに増えることです。

ウチダのアイコン画像ウチダ

$4$ 人,$5$ 人と人数が増えていくにつれ、あいこって増えません?それは、あいこになる場合の数がどんどん増えていくからなんですね~。

では、またまた余事象の確率を利用して求めていきましょうか^^

【解答】

「あいこになる」という事象は「勝負がつく」という事象の余事象である。

また、勝負がつくとき、

  • ⅰ)… $1$ 人勝ちする場合
  • ⅱ)… $2$ 人勝ちする場合
  • ⅲ)… $3$ 人勝ちする場合

の $3$ パターンに分けて考える必要がある。

ⅰ)…「 $4$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{1}×3}{3^4}=\frac{12}{81}$

ⅱ)…「 $4$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{2}×3}{3^4}=\frac{18}{81}$

ⅲ)…「 $4$ 人のうち $3$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{3}×3}{3^4}=\frac{12}{81}$

ⅰ)~ⅲ)より、勝負がつく確率は $\displaystyle \frac{12}{81}+\frac{18}{81}+\frac{12}{81}=\frac{42}{81}$

したがって、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{42}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$ である。

(解答終了)

$3$ 人だとちょっと物足りないため、$4$ 人にしてみましたが…一気に複雑になりましたね。

答えが $\displaystyle \frac{13}{27}$ て。(笑)

ウチダのアイコン画像ウチダ
「余事象の確率ってなに?」という方は、先に「余事象の確率とは?【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】」の記事からご覧ください。

3人でのじゃんけんの確率(2回)

問題. $3$ 人でじゃんけんをして、負けた人から順に抜けていき、最後に残った $1$ 人を優勝者とする。あいこも $1$ 回と数えるとき、ちょうど $2$ 回目で優勝者が決まる確率を求めなさい。

人数を $3$ 人に減らした代わりに、じゃんけんの回数を $2$ 回まで増やしてみました。

これが $3$ 回,$4$ 回,…となるといよいよ訳がわからなくなってきますが、基本はどこまでいっても同じです。

【解答】

問題文の条件を満たす場合は

  • ⅰ)… $1$ 回目があいこで、$2$ 回目で $1$ 人勝ち
  • ⅱ)… $1$ 回目で $2$ 人勝って、$2$ 回目で $1$ 人勝ち

の $2$ 通りある。

ⅰ)…まず $3$ 人であいこになる確率を求める。

  1. $1$ 人勝ちする場合の数は ${}_3{C}_{1}×3=9$ 通り。
  2. $2$ 人勝ちする場合の数は ${}_3{C}_{2}×3=9$ 通り。

あいこになる確率は、$\displaystyle 1-\frac{9+9}{3^3}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

ここで、$3$ 人残っている状態で $1$ 人勝ちする確率は、$\displaystyle \frac{{}_3{C}_{1}×3}{3^3}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

よって、ⅰ)の確率は、$\displaystyle \frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ である。

ⅱ)…「 $3$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率は、$\displaystyle \frac{{}_3{C}_{2}×3}{3^3}=\frac{1}{3}$

また、「 $2$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率は、$\displaystyle \frac{{}_2{C}_{1}×3}{3^2}=\frac{2}{3}$

よって、ⅱ)の確率は、$\displaystyle \frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ である。

したがって、ⅰ)ⅱ)の事象は互いに排反であるから、$\displaystyle \frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$ である。

(解答終了)

それぞれのじゃんけんは独立であるため、ⅰ)ⅱ)の確率は掛け算によって求めることができます。

また、ⅰ)ⅱ)は互いに排反であるため、単に足し算することで答えが導き出せます。

ウチダのアイコン画像ウチダ
「独立?排反?いったい何者?」という方は、先に「排反と独立の違いとは?【ヒント:試行と事象】」の記事から読み進めることをオススメします。

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5人でのじゃんけんの確率(1回)

問題. $5$ 人でじゃんけんを $1$ 回だけ行う。このとき、あいこになる確率を求めなさい。

じゃんけんの問題は、回数が $2$ 回に増えるだけでもかなり複雑になることがわかりましたね。

今度は、また回数を $1$ 回に減らす代わりに、人数を $5$ 人に増やして考えてみましょう。

【解答】

$4$ 人の場合のときと同じように、今度は

  • ⅰ)… $1$ 人勝ちする場合
  • ⅱ)… $2$ 人勝ちする場合
  • ⅲ)… $3$ 人勝ちする場合
  • ⅳ)… $4$ 人勝ちする場合

の $4$ パターンに分けて、余事象の確率(勝負がつく確率)を求めていく。

ⅰ)…「 $5$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{1}×3}{3^5}=\frac{15}{243}$

ⅱ)…「 $5$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{2}×3}{3^5}=\frac{30}{243}$

ⅲ)…「 $5$ 人のうち $3$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{3}×3}{3^5}=\frac{30}{243}$

ⅳ)…「 $5$ 人のうち $4$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{4}×3}{3^5}=\frac{15}{243}$

ⅰ)~ⅳ)より、勝負がつく確率は $\displaystyle 2×(\frac{15}{243}+\frac{30}{243})=\frac{90}{243}$

したがって、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{90}{243}=\frac{153}{243}=\frac{17}{27}$ である。

(解答終了)

さて、そろそろ一般化の道すじが見えてきたのではないでしょうか?

ではいよいよ、$n$ 人のじゃんけんについて考察していきましょう!

n人でのじゃんけんの確率(1回)

問題. $n$ 人でじゃんけんを $1$ 回だけ行う。このとき、あいこになる確率を求めなさい。

さて、今までの方法で考えれば、「 $1$ 人勝ち ~ $n-1$ 人勝ち」まで場合分けをして、

$$1-\frac{3×({}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}+…+{}_n{C}_{n-1})}{3^n} …①$$

とすれば、あいこになる確率を求めることができます。

ここでは、今までとは違う面白い方法で解きたいと思います。

【解答】

「勝負がつく」事象の確率を求めて、$1$ から引くという方針は同じ。

ここでは、

  • ⅰ)…どの $2$ 種類の手が出るか
  • ⅱ)…$1$ 人の手の出し方

の $2$ つに分けて考えよう。

ⅰ)…「どの $2$ 種類の手が出るか」選ぶ場合の数は、${}_3{C}_{2}=3$ 通り。

ⅱ)…$1$ 人に対して $2$ 種類の選択肢があるので、$2^n$ 通り。

しかし、全員が同じ手である場合は $2$ 通りあるので、正しくは $2^n-2$ 通り。

【じゃんけんの確率】あいこの確率を重複順列で求めよう

ⅰ)ⅱ)より、$n$ 人でのじゃんけんであいこになる確率は、$$1-\frac{3×(2^n-2)}{3^n}=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} …②$$

(解答終了)

ためしに②の式に $n=2$ ~ $5$ を代入してみると…

$$n=2 → 1-\frac{2^2-2}{3^{2-1}}=\frac{1}{3}$$

$$n=3 → 1-\frac{2^3-2}{3^{3-1}}=\frac{1}{3}$$

$$n=4 → 1-\frac{2^4-2}{3^{4-1}}=\frac{13}{27}$$

$$n=5 → 1-\frac{2^5-2}{3^{5-1}}=\frac{17}{27}$$

と、今まで求めてきた答えと確かに一致します。

②を公式として覚える必要はありませんが、こういう考え方もできると、確率がより面白く感じられてくるかと思います。

ちなみに、この解答では「重複順列」の考え方を用いています。

≫参考記事:重複順列の問題6選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】

補足:①から②を導く方法

実は①の式に、ある変形を加えることで②を導くことができます。

\begin{align}1-\frac{3×({}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}+…+{}_n{C}_{n-1})}{3^n}&=1-\frac{({}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{1}+…+{}_n{C}_{n-1}+{}_n{C}_{n})-({}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{n})}{3^{n-1}}\\&=1-\frac{(1+1)^n-2}{3^{n-1}}\\&=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\end{align}

※この数式は横にスクロールできます。

この式変形では

  • $1$ 行目で ${}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{n}$ を足して引いている
  • $2$ 行目で「二項定理」を使って $(1+1)^n$ としている

以上 $2$ つの操作を行っています。

ウチダのアイコン画像ウチダ
二項定理は数学Ⅱの初めで習う重要な定理です。興味のある方は「二項定理~(後日書きます。)」の記事もあわせてご覧ください。

じゃんけんの確率に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

  • じゃんけんの確率の基本は「誰が」「何の手で」勝つかを考えること!
  • あいこは余事象を考えよう。
  • 必須の予備知識は「余事象の確率」「排反と独立の違い」の $2$ つ。あった方が良い知識は「重複順列」。

ほとんど「あいこの確率」を求める問題を扱いましたが、裏を返せば「あいこの確率」があるからややこしいのであって、それさえマスターしてしまえば様々な問題に対応できます。

どこまでいっても基本を大切にしてくださいね^^

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上で終わりです。

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