じゃんけんの確率（数学）の問題５選をわかりやすく解説します

こんにちは、ウチダです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、確率の分野で意外と難しいのが「じゃんけんの確率」を求める問題です。

[ふきだし set=”悩む男性”]（問題を解いてみて）$2$ 人のじゃんけんの確率ですら難しかったよ。[/ふきだし]

[ふきだし set=”悩む女性”]$2$ 人ですら難しいのに、$3$ 人，$4$ 人，$5$ 人，…と人数が増えていくと訳がわからなくなるわ。[/ふきだし]

本当にその通りだと思います。

じゃんけんの確率は、一見簡単そうなのに複雑なんですよね。。

よって本記事では、必ず押さえたいじゃんけんの確率の基本から、$2$ 人，$3$ 人，…，$n$ 人でのじゃんけんの確率の問題 $5$ 選まで

• 東北大学理学部数学科卒
• 教員採用試験に１発合格　→　高校教諭経験アリ
• （専門は確率論でした。）

の僕がわかりやすく解説します。

じゃんけんの確率の基本とは？【「誰が」「何の手で」勝つかを考えよう】

じゃんけんの確率における最も重要なポイント。

それは…

これです。

[ふきだし set=”ウチダ”]ここで説明するより、実際に問題を通して見た方がわかりやすいかと思いますので、早速「 $2$ 人でのじゃんけんの確率」の問題にチャレンジしていきましょうか！[/ふきだし]

例題「２人でのじゃんけんの確率」

場合の数が少ないので、数え上げでも十分に対応できます。

ただ、今後の問題のことを考え、一般化できるような方法で解いていきましょう♪

【解答】

(1)　まず、$1$ 人につき「グー，チョキ，パー」の $3$ 通りあるから、手の出し方は全部で $3^2=9$ 通りである。

ここでは、基本に沿って

• ⅰ）…誰が勝つか
• ⅱ）…何の手で勝つか

以上 $2$ つに分けて、勝負がつく場合の数を求めてみよう。

ⅰ）…誰が勝つかの場合の数は、$2$ 人しかいないため、$2$ 通り。

ⅱ）…何の手で勝つかの場合の数は「グー，チョキ，パー」の $3$ 通り。

よってⅰ）ⅱ）より、求める確率は $\displaystyle \frac{2×3}{3^2}=\frac{2}{3}$ である。

(2)　「あいこになる」という事象は「勝負がつく」という事象の余事象である。

よって余事象の確率より、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ である。

(解答終了)

今は回りくどく感じられるかもしれません。

ただ、この解答で見たように

1. 「誰が」「何の手で」勝つか
2. あいこは「勝負がつく」の余事象

以上 $2$ 点を押さえて、応用問題にチャレンジしていきましょう。

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じゃんけんの確率の問題４選

それでは、いよいよ $3$ 人以上でのじゃんけんの確率を求めていきます。

• $4$ 人でのじゃんけんの確率（ $1$ 回）
• $3$ 人でのじゃんけんの確率（ $2$ 回）
• $5$ 人でのじゃんけんの確率（ $1$ 回）
• $n$ 人でのじゃんけんの確率

と、人数やじゃんけんの回数が増えるにつれ、「先ほどまとめた基本がいかに大切であるか」がわかってきます。

４人でのじゃんけんの確率（１回）

さて、$2$ 人でのじゃんけんと $3$ 人以上でのじゃんけん。

これらには、大きな違いが一つあります。

↓↓↓

それは、あいことなる場合が

• 全員同じ手
• 計 $3$ 種類の手

の $2$ つに増えることです。

では、またまた余事象の確率を利用して求めていきましょうか＾＾

【解答】

「あいこになる」という事象は「勝負がつく」という事象の余事象である。

また、勝負がつくとき、

• ⅰ）… $1$ 人勝ちする場合
• ⅱ）… $2$ 人勝ちする場合
• ⅲ）… $3$ 人勝ちする場合

の $3$ パターンに分けて考える必要がある。

ⅰ）…「 $4$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{1}×3}{3^4}=\frac{12}{81}$

ⅱ）…「 $4$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{2}×3}{3^4}=\frac{18}{81}$

ⅲ）…「 $4$ 人のうち $3$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_4{C}_{3}×3}{3^4}=\frac{12}{81}$

ⅰ）～ⅲ）より、勝負がつく確率は $\displaystyle \frac{12}{81}+\frac{18}{81}+\frac{12}{81}=\frac{42}{81}$

したがって、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{42}{81}=\frac{39}{81}=\frac{13}{27}$ である。

(解答終了)

$3$ 人だとちょっと物足りないため、$4$ 人にしてみましたが…一気に複雑になりましたね。

答えが $\displaystyle \frac{13}{27}$ て。(笑)

[ふきだし set=”ウチダ”]「余事象の確率ってなに？」という方は、先に「余事象の確率とは？【〇〇の問題で絶大な威力を発揮します】」の記事からご覧ください。[/ふきだし]

３人でのじゃんけんの確率（２回）

人数を $3$ 人に減らした代わりに、じゃんけんの回数を $2$ 回まで増やしてみました。

これが $3$ 回，$4$ 回，…となるといよいよ訳がわからなくなってきますが、基本はどこまでいっても同じです。

【解答】

問題文の条件を満たす場合は

• ⅰ）… $1$ 回目があいこで、$2$ 回目で $1$ 人勝ち
• ⅱ）… $1$ 回目で $2$ 人勝って、$2$ 回目で $1$ 人勝ち

の $2$ 通りある。

ⅰ）…まず $3$ 人であいこになる確率を求める。

1. $1$ 人勝ちする場合の数は ${}_3{C}_{1}×3=9$ 通り。
2. $2$ 人勝ちする場合の数は ${}_3{C}_{2}×3=9$ 通り。

あいこになる確率は、$\displaystyle 1-\frac{9+9}{3^3}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

ここで、$3$ 人残っている状態で $1$ 人勝ちする確率は、$\displaystyle \frac{{}_3{C}_{1}×3}{3^3}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

よって、ⅰ）の確率は、$\displaystyle \frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ である。

ⅱ）…「 $3$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率は、$\displaystyle \frac{{}_3{C}_{2}×3}{3^3}=\frac{1}{3}$

また、「 $2$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率は、$\displaystyle \frac{{}_2{C}_{1}×3}{3^2}=\frac{2}{3}$

よって、ⅱ）の確率は、$\displaystyle \frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ である。

したがって、ⅰ）ⅱ）の事象は互いに排反であるから、$\displaystyle \frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$ である。

(解答終了)

それぞれのじゃんけんは独立であるため、ⅰ）ⅱ）の確率は掛け算によって求めることができます。

また、ⅰ）ⅱ）は互いに排反であるため、単に足し算することで答えが導き出せます。

[ふきだし set=”ウチダ”]「独立？排反？いったい何者？」という方は、先に「排反と独立の違いとは？【ヒント：試行と事象】」の記事から読み進めることをオススメします。[/ふきだし]

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５人でのじゃんけんの確率（１回）

じゃんけんの問題は、回数が $2$ 回に増えるだけでもかなり複雑になることがわかりましたね。

今度は、また回数を $1$ 回に減らす代わりに、人数を $5$ 人に増やして考えてみましょう。

【解答】

$4$ 人の場合のときと同じように、今度は

• ⅰ）… $1$ 人勝ちする場合
• ⅱ）… $2$ 人勝ちする場合
• ⅲ）… $3$ 人勝ちする場合
• ⅳ）… $4$ 人勝ちする場合

の $4$ パターンに分けて、余事象の確率（勝負がつく確率）を求めていく。

ⅰ）…「 $5$ 人のうち $1$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{1}×3}{3^5}=\frac{15}{243}$

ⅱ）…「 $5$ 人のうち $2$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{2}×3}{3^5}=\frac{30}{243}$

ⅲ）…「 $5$ 人のうち $3$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{3}×3}{3^5}=\frac{30}{243}$

ⅳ）…「 $5$ 人のうち $4$ 人が何の手で勝つか」の確率だから、$\displaystyle \frac{{}_5{C}_{4}×3}{3^5}=\frac{15}{243}$

ⅰ）～ⅳ）より、勝負がつく確率は $\displaystyle 2×(\frac{15}{243}+\frac{30}{243})=\frac{90}{243}$

したがって、求める確率は $\displaystyle 1-\frac{90}{243}=\frac{153}{243}=\frac{17}{27}$ である。

(解答終了)

さて、そろそろ一般化の道すじが見えてきたのではないでしょうか？

ではいよいよ、$n$ 人のじゃんけんについて考察していきましょう！

ｎ人でのじゃんけんの確率（１回）

さて、今までの方法で考えれば、「 $1$ 人勝ち ～ $n-1$ 人勝ち」まで場合分けをして、

$$1-\frac{3×({}_n{C}_{1}+{}_n{C}_{2}+…+{}_n{C}_{n-1})}{3^n}　…①$$

とすれば、あいこになる確率を求めることができます。

ここでは、今までとは違う面白い方法で解きたいと思います。

【解答】

「勝負がつく」事象の確率を求めて、$1$ から引くという方針は同じ。

ここでは、

• ⅰ）…どの $2$ 種類の手が出るか
• ⅱ）…$1$ 人の手の出し方

の $2$ つに分けて考えよう。

ⅰ）…「どの $2$ 種類の手が出るか」選ぶ場合の数は、${}_3{C}_{2}=3$ 通り。

ⅱ）…$1$ 人に対して $2$ 種類の選択肢があるので、$2^n$ 通り。

しかし、全員が同じ手である場合は $2$ 通りあるので、正しくは $2^n-2$ 通り。

ⅰ）ⅱ）より、$n$ 人でのじゃんけんであいこになる確率は、$$1-\frac{3×(2^n-2)}{3^n}=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}　…②$$

(解答終了)

ためしに②の式に $n=2$ ～ $5$ を代入してみると…

$$n=2　→　1-\frac{2^2-2}{3^{2-1}}=\frac{1}{3}$$

$$n=3　→　1-\frac{2^3-2}{3^{3-1}}=\frac{1}{3}$$

$$n=4　→　1-\frac{2^4-2}{3^{4-1}}=\frac{13}{27}$$

$$n=5　→　1-\frac{2^5-2}{3^{5-1}}=\frac{17}{27}$$

と、今まで求めてきた答えと確かに一致します。

②を公式として覚える必要はありませんが、こういう考え方もできると、確率がより面白く感じられてくるかと思います。

ちなみに、この解答では「重複順列」の考え方を用いています。

≫参考記事：重複順列の問題６選とは【公式よりも応用問題の解き方が大切です】

補足：①から②を導く方法

実は①の式に、ある変形を加えることで②を導くことができます。

※この数式は横にスクロールできます。

この式変形では

• $1$ 行目で ${}_n{C}_{0}+{}_n{C}_{n}$ を足して引いている
• $2$ 行目で「二項定理」を使って $(1+1)^n$ としている

以上 $2$ つの操作を行っています。

[ふきだし set=”ウチダ”]二項定理は数学Ⅱの初めで習う重要な定理です。興味のある方は「二項定理～（後日書きます。）」の記事もあわせてご覧ください。[/ふきだし]

じゃんけんの確率に関するまとめ

本記事の要点を改めてまとめます。

• じゃんけんの確率の基本は「誰が」「何の手で」勝つかを考えること！
• あいこは余事象を考えよう。
• 必須の予備知識は「余事象の確率」「排反と独立の違い」の $2$ つ。あった方が良い知識は「重複順列」。

ほとんど「あいこの確率」を求める問題を扱いましたが、裏を返せば「あいこの確率」があるからややこしいのであって、それさえマスターしてしまえば様々な問題に対応できます。

どこまでいっても基本を大切にしてくださいね＾＾

「確率」全 12 記事をまとめました。こちらから次の記事をCHECK!!

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以上で終わりです。