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面積比の公式まとめ【相似比と面積比と体積比の関係もあわせて解説】

2019 12/16
面積比の公式まとめ【相似比と面積比と体積比の関係もあわせて解説】

こんにちは、ウチダショウマです。

いつもお読みいただきましてありがとうございます。

さて、今日は、前半部分で中3内容の

「相似比と面積比・体積比の関係」

について学び、後半部分で高1内容を含む

「三角形の面積比の公式3つ(等高・等底・等角)」

について学びます。

「なぜまとめて学習するか」それは、これら $2$ つの知識は非常に強い結びつきがあるからです。

どちらも重要な内容ですので、ぜひ求め方をマスターし、たくさん問題を解いてほしいと思います!

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目次

相似比と面積比・体積比【なぜ成り立つか】

いきなりですが重要な結論です。

【相似比・面積比・体積比】
・相似な平面図形において、相似比が $m:n$ であるとき、面積比は $m^2:n^2$
・相似な空間図形において、相似比が $m:n$ であるとき、表面積比は $m^2:n^2$ かつ体積比は $m^3:n^3$

つまり「相似比の $2$ 乗が面積比、相似比の $3$ 乗が体積比」というわけですね。

面積比の公式を理解するためにも、まずはこれを押さえておく必要があります。

とても便利そうなこの性質ですが…

一体なぜ成り立つのでしょうか?

それを知るには、面積や体積を決めるある要素に注目する必要があるのです。

相似比と面積比・体積比【なぜ成り立つか】

今回は例として「長方形」「円」「三角錐」を挙げてみました。

確かに、面積は「たて×横」ですし、体積は「たて×横×高さ」になってますね。
※円周率 $π$ や三角錐の体積で出てくる $\frac{1}{3}$ などの数は定数(決まった数)なので、変化することはありませんね。よって今回無視することにします。

さて、ここで相似の定義を思い出してみましょう。

「相似…すべての角と辺の比が等しい」

辺の比が等しいということは、たとえば相似比が $1:2$ の図形であれば、「たても $2$ 倍、横も $2$ 倍」ということになりますよね!

相似な三角形の面積比の例

すると、結果的に面積は「 $2×2=2^2$ 倍」になるわけですから、面積比は $1^2:2^2=1:4$ になるわけです。

相似については「相似条件とは?三角形の相似条件はなぜ3つなの?【証明問題アリ】」の記事にて詳しく解説しております。

練習問題

それでは少し練習してみましょう。

問題. 次の(1)~(3)を答えよ。
(1) $△ABC ∽ △DEF$ で $AB:DE=2:3$ である。$△ABC=4(cm^2)$ であるとき、$△DEF$ を求めよ。
(2) 三角錐 $ABCD$ ∽ 三角錐 $DEFG$ で、$CD:FG=1:3$ である。三角錐 $ABCD$ の表面積が $16(m^2)$ であるとき、三角錐 $DEFG$ の表面積 $S$ を求めよ。
(3) 円柱 $P$ と円柱 $Q$ は相似で、相似比が $2:5$ である。円柱 $P$ の体積が $16π(cm^3)$ であるとき、円柱 $Q$ の体積 $V$ を求めよ。

※ $△DEF$ で「三角形 $DEF$ の面積」を表すことにします。

ノーヒントで解答に移ります。

【解答】

(1) 相似比が $2:3$ より、面積比は$$2^2:3^2=4:9$$である。

よって、$△ABC=4(cm^2)$ より、$$4:△DEF=4:9$$

これを解いて、$$△DEF=9(cm^2)$$

(2) 相似比が $1:3$ より、表面積比は$$1^2:3^2=1:9$$である。

よって、三角錐 $ABCD$ の表面積が $16(m^2)$ より、$$16:S=1:9$$

これを解いて、$$S=144(m^2)$$

(3) 相似比が $2:5$ より、体積比は$$2^3:5^3=8:125$$である。

よって、円柱 $P$ の体積が $16π(cm^3)$ より、$$16π:V=8:125$$

これを解いて、$$V=250π(cm^3)$$

(解答終了)

それぞれの注意点を列挙します。

  • (1) … $2:3$  の比の値は $\frac{3}{2}$ より、面積は $(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ 倍になる。
  • (2) … 表面積は、相似比の $2$ 乗。$3$ 乗ではない。
  • (3) … $π$ を忘れない。

あとは比例式を解くだけです♪

ちなみに、比例式については「比例式の解き方とは?分数を用いた計算・かっこを含む文章問題をわかりやすく解説!」の記事で詳しく解説しております。

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面積比の公式3選とは【三角形】

さて、今までの話を踏まえ、ここからは「相似じゃない図形の面積比」について考えていきます。

具体的には

  • 高さが等しい三角形
  • 底辺が等しい三角形
  • 一つの内角が等しい三角形

以上 $3$ パターンがよく問われます。

等高・等底の公式

等高・等底の公式

つまり面積比は、「高さが等しければ底辺の比、底辺が等しければ高さの比になる」ということです。

今となっては、この公式 $2$ つが本質的に同じである理由がわかるのではないでしょうか。

三角形の面積は$$\frac{1}{2}×底辺×高さ$$でした。

$\frac{1}{2}$ は定数なので無視すると、「底辺と高さ」この $2$ つが面積を定める要素になります。

よって、高さが等しい場合、それぞれの高さを $h$ と置くことができて、

\begin{align}△ABC: △DEF&=\frac{1}{2}BC×h:\frac{1}{2}EF×h\\&=BC:EF\end{align}

ですし、底辺が等しい場合、

\begin{align}△ABC: △DBC&=\frac{1}{2}BC×AH:\frac{1}{2}BC×DI\\&=AH:DI\end{align}

ですね。

等角の公式【数学A】

ここまでの話は中学生で習いますが、「等角の公式」だけは高校知識が必要です。

等角の公式【数学A】

等しい角をはさむ $2$ 辺の積の比」これが面積比になるということです。

さて、これを理解するためには、数学Ⅰ「図形と計量」の分野で習う

$$△ABC=\frac{1}{2}bc\sin A$$

これを知らなくてはなりません。

これを知っている上で解説すると、この三角形の面積の公式より、

\begin{align}△ABC: △ADE&=\frac{1}{2}AB×AC×\sin A:\frac{1}{2}AD×AE×\sin D\\&=AB×AC:AD×AE\end{align}

※最後の式変形は $\sin A=\sin D$ を用いた。
※この式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

と、確かに成り立ちますね。

三角形の面積については「三角形の面積の求め方とは?sinやベクトルを用いる公式も解説!【小学生から高校生まで】」の記事で詳しく解説しております。

練習問題1

それでは、この章の知識のおさらいをしてみましょう。

問題は $2$ 問ありますので、ぜひチャレンジしてみて下さい♪

問題1. $△ABC$ で、辺 $BC$ を $5:4$ に内分した点を $D$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分した点を $E$ とする。このとき、$△ABD: △EDC$ を求めよ。
面積比が簡単な整数の問題

答えが簡単な整数比になるように問題を調整しました。

ぜひ一度解いてみてから解答をご覧ください。

↓↓↓

【解答】

一番小さい $△EDC$ の面積を $1$ とする。

まず、$△EDC$ と $△ADC$ は底辺 $DC$ が共通なので、

\begin{align}△EDC: △ADC&=EF:AG\\&=1:(1+3)\\&=1:4\end{align}

よって、$$△ADC=4$$となる。

面積比が簡単な整数の問題の解答

次に、$△ADC$ と $△ABD$ は高さ $AG$ が共通なので、$$△ADC: △ABD=DC:BD$$

$DC:BD=4:5$ と $△ADC=4$ より、$$4: △ABD=4:5$$

よって、$$△ABD=5$$である。

したがって、$$△ABD: △EDC=5:1$$

(解答終了)

ポイントは「一番小さい三角形の面積を $1$ とか $S$ とかと置く」ことですね。

そうすることで、分数が出てくる可能性が減るので、大きな三角形の面積を表しやすくなります。

練習問題2

では次の問題。

問題2. $△ABC$ において、$AD:DB=4:3$、$BE:EC=5:2$、$CF:FA=1:1$ であるとき、$△ABC: △DEF$ を求めよ。
等角の公式を用いる代表的な応用問題

$△DEF$ をいきなり考えるのは難しそうです。

こういうときのポイントは「 $△DEF$ 以外の三角形に目を向けること」です。

↓↓↓

【解答】

$△ABC$ から $△ADF$、$△BED$、$△CFE$ を除けば $△DEF$ になる。

よって、等角の公式を用いてそれぞれ求めていく。

等角の公式を用いる代表的な応用問題の解説

それぞれに $△ABC$ との等角の公式を用いて、

\begin{align}△ABC:△ADF&=(4+3)×(1+1):4×1\\&=14:4\\&=7:2\end{align}

$$△ADF=\frac{2}{7}△ABC ……①$$

また、

\begin{align}△ABC:△BED&=(5+2)×(3+4):5×3\\&=49:15\end{align}

$$△BED=\frac{15}{49}△ABC ……②$$

また、

\begin{align}△ABC:△CFE&=(2+5)×(1+1):2×1\\&=14:2\\&=7:1\end{align}

$$△CFE=\frac{1}{7}△ABC ……③$$

①~③より、

\begin{align}△DEF&=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE)\\&=△ABC-(\frac{2}{7}+\frac{15}{49}+\frac{1}{7})△ABC\\&=△ABC-\frac{14+15+7}{49}△ABC\\&=\frac{13}{49}△ABC\end{align}

したがって、

\begin{align}△ABC: △DEF&=△ABC:\frac{13}{49}△ABC\\&=49:13\end{align}

(解答終了)

この問題は、等角の公式の応用として代表的な問題ですので、高校生以上の方はしっかりと押さえておきましょう。

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面積比の公式の応用例

それでは最後に、「面積比が図形の性質にいかに応用されているか」これを考えて終わりにしましょう。

具体的には

  • チェバの定理【数学A】
  • ベクトルの問題【数学B】

この $2$ つを見ていきます。

チェバの定理【数学A】

まず、数学Aで学ぶ公式の中でも、比較的インパクトの強い「チェバの定理」です。

チェバの定理【数学A】

一般に↓方向の矢印のことを「チェバの定理」といい、↑方向の矢印のことは「チェバの定理の逆」と呼ぶことが多いです。

さて、上の図のように、$3$ つの線分が $1$ 点 $O$ で交わるときに$$\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}=1$$が成り立ちます。

なんか…「えっ本当に成り立つの?」と思ってしまいますよね。

ただ、式の形を見ると、分数が多く出てきています。

ということは「分数は比を表す」ので、たしかに面積比の公式は有効そうです。

それを意識しながら証明を考えてみましょう。

【証明】

点 $B$、$C$ から直線 $AP$ に対して垂線 $BH$、$CI$ を引いてみる。

チェバの定理の面積比を用いた証明

ここで $△AOB$ と $△AOC$ は底辺 $AO$ が共通なので、等底の公式より、

\begin{align}△AOB: △AOC&=BH:CI\\&=BP:PC\end{align}

※ $△BHP ∽ △CIP$ より、$BH:CI=BP:PC$ を用いた。

よって、$$\frac{△AOB}{△AOC}=\frac{BP}{PC} ……①$$

この考え方を

  • $△BOC$ と $△BOA$ (底辺 $BO$ が共通)
  • $△COA$ と $△COB$ (底辺 $CO$ が共通)

以上 $2$ つの組み合わせに対しても適用すると、

$$\frac{△BOC}{△BOA}=\frac{CQ}{QA} ……②$$

$$\frac{△COA}{△COB}=\frac{AR}{RB} ……③$$

①~③より、

\begin{align}1&=\frac{△AOB}{△AOC}・\frac{△BOC}{△BOA}・\frac{△COA}{△COB}\\&=\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}\end{align}

(証明終了)

この証明のポイントは

  • 等底の公式を $3$ 回用いること
  • 面積比を使って $1=$ と無理やり変形すること

この $2$ 点ですね。

ベクトルの問題【数学B】

問題. 下の図で、$4\vec{PA}+5\vec{PB}+6\vec{PA}=\vec{0}$ が成り立つとき、$△PBC: △PCA : △PAB$ を求めよ。
面積比を求めるベクトルの問題【数学B】

ベクトルから面積比を求める定番の問題です。

まずは始点が $P$ だとわかりづらいので、たとえば $A$ に変えるところから始めてみましょう。

【解答】

条件式のベクトルの始点をすべて $A$ に統一すると、

\begin{align}4(-\vec{AP})+5(\vec{AB}-\vec{AP})+6(\vec{AC}-\vec{AP})&=-(4+5+6)\vec{AP}+5\vec{AB}+6\vec{AC}\\&=\vec{0}\end{align}

※この式は横にスクロールできます。(スマホでご覧の方対象。)

この式を移項などして整理すると、

\begin{align}\vec{AP}&=\frac{5\vec{AB}+6\vec{AC}}{15}\\&=\frac{11}{15}・\frac{5\vec{AB}+6\vec{AC}}{11}\end{align}

この式から、辺 $BC$ を $6:5$ に内分する点を $D$ とすると、点 $P$ は線分 $AD$ を $11:4$ に内分する点であることがわかる。

面積比を求めるベクトルの問題の解説

ここからは、$△ABC=1$ と置いて、等底・等高の公式を使っていく。

まず $△ABD+△ADC=△ABC$ であり、$BD:DC=6:5$ かつ高さが共通なことから、等高の公式を用いて、$$△ABD=\frac{6}{11} , △ADC=\frac{5}{11}$$

となる。

次に $△BDA$ と $△BPA$ について、等高の公式より、$$△BDA : △BPA = 15 : 11$$

これを解くと、

\begin{align}△BPA&=\frac{11}{15}△BDA\\&=\frac{11}{15}・\frac{6}{11}\\&=\frac{6}{15} ……①\end{align}

$△CDA$ と $△CPA$ についても同様に、

\begin{align}△CPA&=\frac{11}{15}△CDA\\&=\frac{11}{15}・\frac{5}{11}\\&=\frac{5}{15} ……②\end{align}

最後に $△ABC$ と $△PBC$ について、等底の公式より、$$△PBC=\frac{4}{15} ……③$$

①~③より、

\begin{align}△PBC : △PCA : △PAB&=\frac{4}{15}:\frac{5}{15}:\frac{6}{15}\\&=4:5:6\end{align}

(解答終了)

もちろん、始点を $B$、$C$ に変えても同様に導くことができます。

また、以上の計算結果から、一般に次の事実がわかります。

面積比の公式の応用例

検算用に覚えておくと、非常に便利ですね^^

面積比に関するまとめ

今日は、まず「相似比と面積比(体積比)」の関係を“構成する要素の数”で明らかにしました。

その知識をもとに、三角形の面積比の公式 $3$ つ(等高・等底・等角)を導き、応用例も $2$ つ考えました。

とりあえず、今日の記事で

  • 相似な図形の面積比の求め方
  • 相似じゃない図形の面積比の求め方

以上の区別が付けられるようになればOKです!

終わりです~。

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