二次関数のグラフの平行移動とは？【公式や応用問題３選をわかりやすく解説】

こんにちは、ウチダです。

数学Ⅰ「二次関数」の単元は、本当に覚えることが多いです。

その中でも、「平行移動（へいこういどう）・対称移動（たいしょういどう）」に関する内容は、二次関数以外の関数でも役に立つため、数学Ⅱ・数学Ⅲでも出てくる重要な知識です。

数学太郎

そしたら今のうちに理解しておいた方が良いよね。でも、平行移動の公式の成り立ちがよくわからないんだよなぁ。

数学花子

平行移動に関する応用問題が解けるようになりたいです。

よって本記事では、グラフの平行移動の公式（なぜ $+p$ 移動するとき $x-p$ を代入するのか）から、平行移動の応用問題３選の解き方まで

• 東北大学理学部数学科卒業
• 実用数学技能検定１級保持
• 高校教員→塾の教室長の経験あり

の僕がわかりやすく解説します。

二次関数のグラフの平行移動とは？【マイナスに注意！】

平行移動の公式は以下の通り。

$y=f(x)$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+p$，$y$ 軸方向に $+q$ だけ平行移動したグラフは、$y-q=f(x-p)$ と表すことができる！

ここでの最大のポイントは、

• $x$ 軸方向に $+p$ 平行移動　→　$x$ の代わりに $x-p$ を使う。
• $y$ 軸方向に $+q$ 平行移動　→　$y$ の代わりに $y-q$ を使う。

と、$+p$ なのに $x-p$ のような、符号の逆転現象が起きている、という点です。

数学太郎

ここがよくわからないです！ $+p$ だけ動かしたいんだから、$x+p$ を入れれば良いんじゃないの？

ここで、上記のように悩んでしまって理解できない、という方が非常に多いように感じます。

なので、逆に言うとこの事実さえしっかり理解できれば、平行移動および対称移動の問題は楽勝も同然なのです。

ウチダ

ということで、ここからは $2$ つの考え方で、平行移動の公式を解説していきます。ぜひ、自分に合った方法で理解しましょう！

平行移動の公式の解説その１【頂点で考える】

二次関数の大きな特徴として、

• 必ず頂点が存在する。
• 頂点の座標は、平方完成をすることによって簡単に求まる。

これらがありました。

では、これらの事実を利用して、一度頂点に着目して平行移動を考えてみましょう。

例題１．二次関数 $y=x^2　…①$ のグラフを、$x$ 軸方向に $+1$，$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動したグラフの方程式を求めなさい。

この問題を、頂点の移動で考えていきます。

平行移動してもグラフの形は変わらないため、グラフの形を決める係数 $a$ の値は同じです。

それを踏まえた上で”頂点の移動のみ”に着目しても、以上のように公式が導ける、というわけですね。

数学花子

たしかに、こういう風に逆算して考えれば、平行移動の公式が正しい理由がわかりますね。

ウチダ

数学が嫌いになる原因の一つとして「証明がわからない」というのがあります。無理して証明を覚えるくらいなら、以上のように「証明ではないけれども感覚で理解しておくこと」の方が大切だと、私は思いますね。

この章で使った予備知識に関する詳しい解説は、こちらをご覧ください。

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平行移動の公式の解説その２【一般的に証明する】

さて、解説その１では感覚的に理解することを目的としていました。

解説その２では、しっかりと一般的に証明していきたいと思います。

証明のための準備：関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $( \ x \ , \ y \ )$ を、$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ 平行移動させたら、点 $( \ X \ , \ Y \ )$ に移動したと仮定する。

上記のように、まずは前提条件をハッキリしておきましょう。

今回で言えば、

1. 平行移動する前の点の座標　…　$( \ x \ , \ y \ )$
2. 平行移動した後の点の座標　…　$( \ X \ , \ Y \ )$
3. 使える条件式　…　$y=f(x)$

以上 $3$ つが前提であり、ここから $X$，$Y$ についての関係式を作っていきます。

ではいよいよ、平行移動の公式の証明です。

数学太郎

なるほど。使える条件が少ないから、必然的に証明もシンプルになるね。でも、大文字の $X$ や $Y$ が何となくひっかかるなぁ。

ウチダ

大文字の $X$，$Y$ で考えたのは、小文字の $x$，$y$ と区別するためです。そもそも、「 $x$ 軸・$y$ 軸」というのも一種の決まり事なので、たとえば「 $a$ 軸・$b$ 軸」とかでも問題はないわけです。

証明は意外とシンプルなのですが、慣れていないと「ん？」と思うようなロジックなんですね。

ここの論理については、数学Ⅱ「軌跡」の単元で詳しく学習しますので、よくわからない方は「とりあえず証明はこんな感じなんだな～」という雰囲気だけでも押さえておきましょう。

軌跡とは～（準備中）

【補足】グラフの対称移動とは？

さて、グラフの平行移動の他にもう一つ「グラフの対称移動」というものがありますが、平行移動の公式が理解できれば、こちらは自然と理解できるかと思います。

ちょっと図で確認してみましょうか。

$x$ 軸に関して対称移動したグラフ同士の図を見ればわかる通り、$y$ → $-y$ と変えればOKですよね。

他の場合は省略しますが、対称移動の場合は「 $-$ を付けるか否か」だけなので、単純に考えてしまいましょう。

ウチダ

ただし「 $x$ 軸に関して対称だから $x$ を $-x$ に変えればいい！」みたいな発想はNGです。しっかりと図を書くことで、$x$ 座標は変化しないことが見てわかりますよね。

「どっちにマイナスを付けるか」という風に混乱した場合でも、図を書いてみれば一目瞭然です。

一刻も早く、暗記学習から抜け出しましょう。

二次関数のグラフの平行移動・対称移動に関する応用問題３選

基本はこれでマスターできましたので、ここからは復習もかねて、応用問題を $3$ 問解いていきます。

問１．基本問題を２通りの方法で

問題１．放物線 $y=-x^2+2x-3　…①$ を、$x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めなさい。

一番オーソドックスな問題ですが、公式の解説でも考えたように、「頂点の移動」に着目しても解けます。

最初ということで、一応 $2$ 通りの方法で解説していきます。

「頂点の移動で考える方法」「平行移動の公式を使う方法」どちらにも良さがあるため、一概に「こっちの方がオススメ！」とは言えません。

なので、ぜひ自分に合った解法を選ぶようにしてみてください。

問２．逆の平行移動

問題２．ある放物線 $A$ を、$x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $+2$ だけ平行移動したら、放物線 $y=2x^2+3x-4$ になった。放物線 $A$ の方程式を求めなさい。

次は、今までとは逆の考え方が必要な問題です。

ただ、この問題もある事実に気づいてしまえば、あとは平行移動の公式を使ってラクに解くことができます。

ぜひ、考えてみてから解答をご覧ください。

問題２の解答

問題文から、放物線 $y=2x^2+3x-4$ を、$x$ 軸方向に $+1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したら、放物線 $A$ になる、と逆に考えることができる。

よって平行移動の公式より、放物線 $y=2x^2+3x-4$ において

• $x$ → $x-1$
• $y$ → $y+2$

に置き換えれば、放物線 $A$ の方程式が求まる。

\begin{align}y+2&=2(x-1)^2+3(x-1)-4\\&=2(x^2-2x+1)+3x-3-4\\&=2x^2-4x+2+3x-3-4\\&=2x^2-x-5\end{align}

したがって、求める方程式は

\begin{align}y=2x^2-x-7\end{align}

である。

(解答終了)

ちなみに、問題２も頂点の移動で解くことも可能ですが、今回頂点の座標に分数が出てきてしまうため、計算が大変です。

こういった問題にも対応できるようになりたい方は、平行移動の公式を使える方が良いですね！

問３．平行移動・対称移動の混ざった問題

問題３．ある放物線 $B$ を、$x$ 軸方向に $+2$，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した後、原点に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-6x+7$ になった。放物線 $B$ の方程式を求めなさい。

さて最後は、問題２に対称移動が混ざったバージョンです。

この問題も逆の移動を考える必要があります。

では解いていきましょう。

問題３の解答

先ほどと同じ発想で、逆の移動を考えていく。

しかし、今回は特に“移動の順番”に気を付ける必要がある。

つまり、逆の移動を考える際は

1. まず「原点に関して対称移動」をしてから、
2. 次に「 $x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $+3$ だけ平行移動」をする。

この手順を間違うとOUT。

ⅰ）対称移動の公式より、放物線 $y=2x^2-6x+7$ において

• $x$ → $-x$
• $y$ → $-y$

に置き換えれば、？の方程式が求まる。

？の方程式を整理すると、$y=-2x^2-6x-7$

ⅱ）平行移動の公式より、放物線 $y=-2x^2-6x-7$ において

• $x$ → $x+2$
• $y$ → $y-3$

に置き換えれば、放物線 $B$ の方程式が求まる。

\begin{align}y-3&=-2(x+2)^2-6(x+2)-7\\&=-2(x^2+4x+4)-6x-12-7\\&=-2x^2-8x-8-6x-12-7\\&=-2x^2-14x-27\end{align}

したがって、求める方程式は

\begin{align}y=-2x^2-14x-24\end{align}

である。

(解答終了)

数学花子

これは公式を使わないと厳しそうですね！ところで、もし移動の順番を逆にしてしまうとどうなるんですか？

ウチダ

それはもちろん、全く別の放物線になります。図で確認しておきましょうか！

対称移動は平行移動と違って、「いつも一定の変化をする移動ではない」ため、このようなことが起きてしまうのですね。

ウチダ

仮に平行移動→平行移動の問題であれば、順番が逆になっても問題はありません。これは自分で問題を作ってみて、図を書いて確認してみてください。

二次関数のグラフの平行移動に関するまとめ

それでは最後に、本記事のポイントをまとめます。

1. $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するには、$x$ → $x-p$，$y$ → $y-q$ に置き換えればOK！
2. 平行移動の公式の証明は以下の２通り。
   1. 「二次関数のグラフ」の頂点の移動に着目しても説明できる
   2. 一般的に証明するには、数学Ⅱ「軌跡」の知識があった方が良いです。
3. 平行移動・対称移動が混ざった問題は、移動の順番がごっちゃにならないように注意しよう！

平行移動・対称移動の知識は、どんな関数のグラフであっても使えるので、ぜひこの機会に押さえておきましょう。

数学Ⅰ「二次関数」の全 $12$ 記事をまとめた記事を作りました。よろしければこちらからどうぞ。

おわりです。